НОА 2011, IV кръг, Младша възраст — Задача 4. Непозната планета
МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · ЦЕНТРАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ · XIV НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ · http://astro-olymp.org · IV кръг · Теоретичен тур · Младша възраст · 12 т.
Условие
Поради проблем в корабната система за управление (причинен от изкъртен радиатор), звездните навигатори Маги и Петко кацат аварийно на непозната планета. Скоро повредата е отстранена, но Маги и Петко не знаят дали горивото ще им стигне, за да стартират от планетата. Веднага започват наблюдения и изследвания. Разбират, че на повърхността на планетата тежат два пъти по-малко, отколкото на Земята. Определят орбиталния период на единствения спътник на планетата, който се оказва 40 земни денонощия. Установяват, че видимият ъглов диаметър на спътника е 5'.05, когато се вижда в зенита, и 5', когато е на хоризонта.
1 Как по тези наблюдателни данни може да се определят масата и радиусът на непознатата планета?
2 Пресметнете втора космическа скорост за тази планета ().
Решение
Да означим радиуса на непознатата планета с R , а масата й с М. Ускорението на силата на тежестта на нейната повърхност ще бъде:
където γ е грвитационната константа. Звездните навигатори са открили, на непознатата планета тежат два пъти по-малко, отколкото на Земята, следователно:
където е земното ускорение. За орбиталното движение на спътника, съгласно ІІІ закон на Кеплер можем да напишем:
където r е радиусът на орбитата на спътника, а Т е орбиталният му период.
Както се вижда от схемата, когато наблюдаваме спътника на хоризонта, ние го виждаме от разстояние, приблизително равно на радиуса на орбитата му r. Когато го наблюдаваме в зенита, разстоянието от нас до него е намалено с радиуса на планетата R. За видимите ъглови размери Δz и Δh на спътника в зенита и на хоризонта можем да напишем:
От последното съотношение намираме:
От уравненията (1) и (2) получаваме:
Разделяме почленно уравненията (3) и (5) и получаване:
Имайки предвид (4), за разстоянието до спътника и радиуса на планетата получаваме:
От (5) за масата на планетата получаваме:
За втора космическа скорост намираме:
Критерии за оценяване (12 т.):
За определяне на ускорението насилата на тежестта на планетата – 1 т.
За правилни идеи за определяне на радиуса и масата на планетата – 2 т.
За правилно съставяне на уравненията – 3 т.
За вярни алгебрични пресмятания на r, R, M - 2 т.
За верни числени отговори за R, M - 2 т.
За определяне на втора космическа скорост – 2 т.
Оригинал в Архива: NOA4_2011_MLproblems.pdf · официални решения: NOA4_2011_MLsolutions.pdf