НОА 2012, II кръг (областен), 9–10 клас — Задача 3. Три планети
XV Национална олимпиада по астрономия 2012, областен кръг, тема за възрастова група IX-X клас · 23 февруари 2012 г. · 8 т.
Условие
Около Блестящата звезда живее цивилизацията на Трите планети. Разгледайте схемата. Веднъж на определен интервал от време и трите планети се подреждат на една линия и тогава разстоянието от планетата А до планетата В е същото, както от планетата В до планетата С. Астроном от планетата А наблюдава планетата В, а астроном от планетата В гледа планетата С.
• Дали планетата В изглежда толкова ярка за наблюдателя от А, колкото планетата С, за наблюдателя от В? Планетите са с едни и същи размери и с една и съща отражателна способност на повърхността. [4 т.]
• Нека разглеждаме взаимните положения само на две от планетите. За коя двойка планети – А и В, В и С, или А и С – най-често се случва да застанат на една линия със звездата от едната ѝ страна? [4 т.]
Обяснете вашите отговори. Считайте, че орбитите на планетите не лежат съвсем точно в една равнина, и когато планетите застанат по показания начин, никоя от тях не засенчва слънчевата светлина към друга планета.
Решение
Решение:
Колкото едно светещо тяло е по-близо до нас, толкова по-ярко го виждаме. В момента, за който се говори в задачата, разстоянията от планетата В до А и от планетата С до В са еднакви. На пръв поглед би трябвало планетата В да се вижда от А също толкова ярка, колкото планетата С се вижда от В. Но нека си припомним, че планетите са тела, които не светят със собствена светлина. Те отразяват светлина от своето слънце, в случая Блестящата звезда. Планетата С е по-далеч от Блестящата звезда, отколкото планетата В. Следователно до планетата С достига по-малко светлина от звездата, отколкото до В. (По-точно, осветеността от звездата върху планетата намалява обратно пропорционално на квадрата на разстоянието). Всички други условия са еднакви – размерите на планетите и тяхната отражателна способност. Оттук заключаваме, че планетата В ще изглежда по-ярка за наблюдател от А, отколкото планетата С за наблюдател от В.
Колкото по-голям е радиусът на орбитата на дадена планета около нейната звезда, толкова по-дълъг е нейният орбитален период. Следователно от трите планети най-кратък орбитален период има планетата А, а най-дълъг – планетата С. Колкото по-близки са орбиталните периоди на две планети, толкова по-рядко ще се случва те да застанат на една права със звездата от едната ѝ страна. Такива взаимни разположения ще се случват по-рядко за двойките съседни планети – А и В, В и С. Най-често такива взаимни конфигурации ще се повтарят за двойката планети А и С, при които разликата между орбиталните периоди е най-голяма. По друг начин това може да се обясни чрез ъгловите скорости на движение на планетите по техните орбити. Разликата между ъгловите скорости на планетите А и С е най-голяма. Но тази разлика е равна на относителната ъглова скорост на едната планета спрямо отправна система, свързана със звездата и другата планета. Следователно именно при планетите А и С най-често ще се случва вътрешната планета (в случая А) да «застига» и «задминава» другата планета, т.е. по-често ще се случва двете планети да застават на една линия със звездата от едната ѝ страна.
Критерии за оценяване (общо 8 т.):
- За разбиране на качествено ниво на зависимостта между разстоянието и видимия блясък / осветеност – 1.5 т.
- За разбиране на зависимостта на блясъка на планетата от разстоянието ѝ до звездата – 1.5 т.
- За правилен отговор и обяснение коя планета ще изглежда по-ярка – 1 т.
- За обяснение по второто подусловие – 3 т.
- За правилно заключение – 1 т.
Оригинал в Архива: NOA2_2012_9-10problems.pdf · официални решения: NOA2_2012_9-10solutions.pdf