НОА 2012, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 1

• $\cos\varphi = \delta_o/OO',\quad \varphi = 51.37°$

  Максимумите на продължителността на изгрева са през юни и декември (слънцестоенията), минимумите – през март и септември (равноденствията); максимумите са с различна височина заради неравномерното орбитално движение на Земята (перихелий в началото на януари). Ширината се получава от минималната продължителност на изгрева ≈ 206 s: $OO' = 360°\cdot206/86400 \approx 0.858°$ и $\cos\varphi = 32.15'/OO'$.

Решение:

За времето, в което продължава изгревът, Слънцето трябва да измине определено разстояние по небесната сфера при своето видимо денононщно движение. Продължителността на изгрева е различна в различни периоди на годината, защото видимата ъглова скорост на преместване на Слънцето е различна. Факторите, от които зависи тя, са няколко.

Поради движението си по еклиптиката, през годината Слънцето мени своята деклинация. Затова паралелите от небесната сфера, които то описва, са различни по размер. Ако считаме, че слънчевото денонощие винаги е равно точно на 24 часа, то само по тази причина видимата ъглова скорост на преместване на Слънцето по различните денонощни паралели ще бъде различна.

Най-бавно Слънцето ще се движи по паралелите, които описва в дните на лятното или зимното слънцестоене. Те отстоят на 23.5 от екватора и видимата ъглова скорост на Слънцето тогава ще бъде $1/\cos 23.5° \approx 1.09$ пъти по-малка (или с 9% по-малка), отколкото в дните на равноденствията, когато деклинацията му е нула и то описва денонощен паралел с размера на небесния екватор. Ето защо, както се вижда от диаграмата, има максимуми на продължителността на изгрева през юни и декември, когато са лятното и зимното слънцестоене, и минимуми през март и септември, когато са равноденствията.

Максимумите имат различна височина. Продължителността на изгрева около лятното слънцестоене е малко по-малка, отколкото около зимното слънцестоене. Обяснението е свързано с неравномерното движение на Земята по нейната елиптична орбита около Слънцето. Всъщност върху видимото движение на Слънцето от изток на запад, поради околоосното въртене на Земята, се наслагва видимото му годишно преместване в обратна посока – от запад на изток, поради орбиталното движение на Земята. Земята минава през перихелия на своята орбита в първите дни на януари. Тогава тя се движи с най-голяма скорост и е най-близо до Слънцето. Затова видимото годишно движение на Слънцето по еклиптиката е най-бързо и така най-силно се “забавя” видимото му денонощно движение по небето. Ето защо продължителността на изгревите около зимното слънцестоене е по-голяма, отколкото около лятното слънцестоене и максимумите имат различна височина.

Най-просто ще решим въпроса с определяне на географската ширина на наблюдателния пункт, като разгледаме случая на изгрев около равноденствията. Графиката показва, че тогава продължителнастта на изгрева е приблизително 206 секунди (вземаме средната продължителност от двата минимума на графиката).

Тогава Слънцето се движи по денонощен паралел с размерите на небесния екватор и датите са далеч от преминаването на Земята през перихелия и през афелия, така че не се налага да се въвеждат коригиращи коефициенти, поне за точността, с която работим. Денонощният паралел на Слънцето, съвпадащ с небесния екватор, е наклонен към хоризонта на ъгъл $90° - \varphi$ , където $\varphi$ е търсената географска ширина. За времето, през което продължава изгревът, центърът на Слънцето изминава път OO'. Можем да го намерим чрез следната пропорция:

Както се вижда от чертежа, за време 206 s във вертикална посока центърът на Слънцето изминава разстояние колкото видимия ъглов диаметър на Слънцето $\delta_o$ . Оттук намираме:

Критерии за оценяване (общо 16 т.):

За обяснение защо минимумите и максимумите се случват през съответните периоди от годината – 4 т.

За обяснение на различната височина на двата максимума – 4 т.

За подходящ избор на период през годината, данните от който да се използват за определяне на географската ширина и обяснение – 2 т.

За определяне на продължителността на изгрева, необходима за пресмятанията, от графиката – 1 т.

За правилна логическа постановка на решението на въпроса за ширината – 2 т.

За правилни пресмятания – 2 т.

За верен числен отговор – 1 т.