Съдържание

НОА 2013, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 4. Сближения със Земята

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2013

XVI Национална олимпиада по астрономия 2013, областен кръг, възрастова група XI-XII клас · 23 февруари 2013 г. · 10 т.

Условие

Освен големите планети и планетите джужета, в Слънчевата система има и многобройни астероиди и комети, които обобщено се наричат “малки тела”. Едно такова “малко тяло” е наблюдавано упорито от група астрономи в продължение на повече от десет години. Те установяват, че то се доближава до Земята на всеки три години. Пресметнете какъв период на обикаляне около Слънцето би могло да има това тяло.

Отговори

Решение

За да се сближава със Земята веднъж на всеки 3 години тялото трябва да има синодичен период 3 тодини. През такъв период ще се повтаря противостоенето на тялото, при което то ще е най-близо до Земята. Ако тялото се движи по орбита, която е вътрешна за земната орбита, то можем да напишем:

\frac{1}{T_{syn}} = \frac{1}{T} - \frac{1}{T_0}

където $T_{syn} = 3$ год. е синодичният период на тялото, $T$ е сидеричният му период, който търсим, а $T_0 = 1$ год. е орбиталният период на Земята. Оттук получаваме:

T = \frac{T_{syn}T_0}{T_{syn}+T_0} = 0.75 \text{ год.}

Ако орбитата на тялото е външна за земната орбита, то:

\frac{1}{T_{syn}} = \frac{1}{T_0} - \frac{1}{T}

T = \frac{T_{syn}T_0}{T_{syn}-T_0} = 1.5 \text{ год.}

Освен тези две решения, има и още една възможност. За разлика от планетите, които имат почти кръгови орбити, малките тела често се движат по твърде издължени орбити. Тялото може да се движи с орбитален период 3 години около Слънцето, но по орбита с голям ексцентрицитет. Тогава, ако говорим за сближение на тялото със Земята, както е казано в задачата, то това сближение би се случвало веднъж на три години, макар и в общия случай при конфигурация различна от противостоенето.

Критерии за оценяване (общо 10 т.):

За определяне на орбиталния период на тялото в случая на вътрешна орбита – 4 т.

За определяне на периода в случая на външна орбита – 4 т.

За разглеждане на случая със силно ексцентрична орбита – 2 т.

Оригинал в Архива: NOA2_2013_11-12problems.pdf · официални решения: NOA2_2013_11-12solutions.pdf