Съдържание

НОА 2013, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 1. Kepler-16

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2013

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА · XVI НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ · Национален кръг, 13 април 2013 г., Кърджали · ТЕМА ЗА ВЪЗРАСТОВА ГРУПА – XI-XII КЛАС · ТЕОРЕТИЧЕН КРЪГ · 13 април 2013 г. · 15 т.

Условие

1 задача. Kepler-16. Звездата Kepler-16 е интересен случай на двойна звезда, около която с помощта на космическия телескоп Kepler е открита планета. Компонентите на двойната система са оранжево и червено джудже с параметри, които са дадени в таблицата по-долу.

Звезда	Маса (сл. маси)	Радиус (сл. радиуси)	Температура
Kepler-16 A	0.6897	0.6489	4450 K
Kepler-16 B	0.20255	0.22623	3000 K

Звездите се движат по почти кръгови орбити около центъра на масите на системата с период 41.079 денонощия, а единствената засега открита планета – с период 228.776 денонощия. Орбитата на планетата лежи в равнината на орбитите на звездите. Масата на планетата е пренебрежимо малка в сравнение с масите на звездите.
Представете си същества, обитаващи тази планета. В небето за тях ще се наблюдават необикновени гледки на двете им слънца.

• Пресметнете видимите ъглови размери на двете звезди за наблюдателите от планетата, когато оранжевото слънце застава пред червеното и когато червеното слънце застава пред оранжевото.

• Опишете само качествено как ще се влияе температурата на планетата от взаимните положения на звездите. Разгледайте двата възможни случая на взаимни покрития на звездите и случая, когато те са на максимално видимо ъглово отстояние една от друга. В кой от тези три случая ще е най-топло и в кой – най-хладно?

Видимият ъглов диаметър на Слънцето е 0.5°.

Отговори

Решение

1 задача. Решение:
Отначало ще пресметнем радиусите на орбитите около общия център на масите на звездите $r_A$ и $r_B$ , както и този на планетата $r_p$ . Означаваме масите на двете звезди с $M_A$ и $M_B$ , орбиталния период на двойната звездна система с $T_{AB}$ , а орбиталния период на планетата с $T_p$ . В сила са следните равенства:

r_A M_A = r_B M_B

\frac{(r_A+r_B)^3}{T_{AB}^2} = M_A + M_B

където орбиталните радиуси са изразени в астрономически единици, периодите – в земни години, а масите на звездите – в слънчеви маси. Решавайки тази система уравнения, за орбиталните радиуси получаваме:

r_B = \sqrt[3]{\frac{T_{AB}^2 M_A^3}{(M_A+M_B)^2}} \approx 0{,}1734\ \mathrm{AU} \qquad r_A = \sqrt[3]{\frac{T_{AB}^2 M_B^3}{(M_A+M_B)^2}} \approx 0{,}0509\ \mathrm{AU}

Орбиталния радиус на планетата намираме също от III закон на Кеплер:

\frac{r_p^3}{T_p^2} = M_A + M_B

r_p = \sqrt[3]{T_p^2 (M_A+M_B)} \approx 0{,}7048\ \mathrm{AU}

Тук отново орбиталният радиус е изразен в астрономически единици, периодът в земни години, а масите на звездите в слънчеви маси.

I случай. Оранжевата звезда е пред червената.
Тогава видимите от планетата ъглови диаметри $\delta_A$ и $\delta_B$ на оранжевата и на червената звезда ще бъдат:

\delta_A = \delta_o \frac{R_A}{r_p - r_A} \approx 0{,}5^{\circ} \approx 30' \qquad \delta_B = \delta_o \frac{R_B}{r_p + r_B} \approx 0{,}13^{\circ} \approx 7{,}8'

В тези формули с $R_A$ и $R_B$ са означени радиусите на двете звезди в слънчеви радиуси (или което е все едно – диаметрите в слънчеви диаметри), $\delta_o$ е видимият ъглов диаметър на нашето Слънце. По-малката компонента В очевидно ще бъде напълно закрита от по-голямата компонента А.

II случай. Червената звезда е пред оранжевата.
Тогава:

\delta_A' = \delta_o \frac{R_A}{r_p + r_A} \approx 0{,}43^{\circ} \approx 26{,}8' \qquad \delta_B' = \delta_o \frac{R_B}{r_p - r_B} \approx 0{,}21^{\circ} \approx 12{,}6'

Поради обстоятелството, че разстоянието между двете звезди е само около три пъти по-малко от орбиталния радиус на планетата, видимите диаметри на звездите в разгледаните случаи съществено се различават.

Когато червеното слънце покрива, макар и частично оранжевото, на планетата би трябвало да е най-хладно. Тогава освен всичко друго, оранжевата звезда е малко по-далеч от планетата. Но дали ефектът от закриването на част от видимия диск на по-горещата звезда от по-хладната не се компенсира от това, че по-хладната звезда тогава е доста по-близо до планетата, поради по-голямото си отстояние от центъра на масите? Наистина създаваната от нея осветеност се увеличава в сравнение със средното разстояние с фактор, който можем да оценим така:

\left(\frac{r_p}{r_p - r_B}\right)^2 \approx 1{,}76

Т.е. увеличението на блясъка на червената звезда е близо два пъти в сравнение със ситуация, когато тя е на някакво средно разстояние от планетата. Но нека пресметнем отношението на светимостите на двете звезди:

\frac{L_A}{L_B} = \frac{4\pi R_A^2 \sigma T_A^4}{4\pi R_B^2 \sigma T^4} \approx 40

където $T_A$ и $T_B$ са температурите на звездите, а $\sigma$ е константата на Стефан-Болцман. Оранжевата звезда е около 40 пъти по-мощно светеща от червената. Лесно се убеждаваме, че определящ е блясъкът на оранжевата звезда. Следователно наистина в този случай на планетата е най-хладно, понеже видимият ъглов диаметър на червената звезда е половината от този на оранжевата, което означава, че една четвърт от видимия диск на оранжевата звезда е закрита.

Кога на планетата е по-топло – когато оранжевата звезда закрива червената, или когато се виждат и двете звезди? На пръв поглед може да ни се струва, че когато двете звезди не се закриват, те създават по-голяма осветеност върху планетата. Но нека не забравяме, че когато оранжевата звезда закрива червената, оранжевата звезда е малко по-близо до нас. Факторът, с който се усилва създаваната от нея осветеност е:

\left(\frac{r_p}{r_p - r_A}\right)^2 \approx 1{,}16

При покритие на червената звезда, оранжевата звезда създава с около 16% по-голяма осветеност в сравнение със ситуация, когато тя е на средно разстояние от планетата. Светимостта на оранжевата звезда е цели 40 пъти по-слаба от тази на оранжевата. Следователно загубата от светлината на червената звезда е значително по-малка от 16-процентната печалба от приближаването на оранжевата звезда към планетата. Оттук заключаваме, че най-топло на планетата ще бъде, когато оранжевата звезда закрива червената.

Критерии за оценяване (общо 15 т.):
За определяне на орбиталните радиуси на звездите – 3 т.
За определяне на видимите ъглови размери в първия случай – 3 т.
За определяне на видимите ъглови размери във втория случай – 3 т.
За правилни разсъждения по въпроса от какво се определя осветеността, създавана върху планетата при различните случаи – 4 т.
За вярно заключение в кой случай е най-топло и в кой – най-хладно на планетата – 2 т.

Оригинал в Архива: NOA3_2013_11-12problems.pdf · официални решения: NOA3_2013_11-12solutions.pdf · допълнителни данни: NOA3_2013_9-10solutions.pdf