Съдържание

НОА 2013, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 2. Цялото Слънце

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2013

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА · XVI НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ · Национален кръг, 13 април 2013 г., Кърджали · ТЕМА ЗА ВЪЗРАСТОВА ГРУПА – XI-XII КЛАС · ТЕОРЕТИЧЕН КРЪГ · 13 април 2013 г. · 16 т.

Условие

2 задача. Цялото Слънце. Космическите станции STEREO A и STEREO B се движат около Слънцето по орбити, близки до земната орбита. Те имат за задача да фотографират Слънцето от различни страни. Орбиталните периоди на двете станции са такива, че едната от тях леко изпреварва Земята при движението си около Слънцето, а другата леко изостава, но винаги двете станции са отклонени на еднакви ъгли симетрично от двете страни на Земята по нейната орбита. Станцията STEREO A се движи по орбита, чиито радиус е с 5.58 × 10⁶ км по-малък от радиуса на земната орбита.

Слънчево изображение от STEREO B, EUVI 195, зелено, с активно образувание; текст „STEREO Behind EUVI 195“ и „2007-12-12 11:45:58“. — STEREO B

Слънчево изображение от STEREO A, EUVI 195, зелено, с активно образувание; текст „STEREO Ahead EUVI 195“ и „2007-12-12 11:45:30“. — STEREO A

Слънчево изображение от SOHO, зелено, с активно образувание близо до центъра на диска; текст „2007/12/12 11:45“. — SOHO

• Намерете орбиталните периоди на двете станции.

• Колко време след старта двете станции ще бъдат на по 90° от двете страни на Земята почти по нейната орбита и ще фотографират две противоположни страни на Слънцето?

Радиусът на земната орбита е 149.6 × 10⁶ км.
На 12 декември 2007 г. станциите STEREO A и B фотографират активно образувание в слънчевата корона, което се вижда като по-голямо ярко петно на дадените изображения. В същото време образуванието е заснето и от станцията SOHO, която се намира в т.нар. първа точка на Лагранж на правата линия, свързваща Земята и Слънцето. За наблюдател на Слънцето станциите STEREO A и B са на ъгъл 42° една от друга.

• Оценете приблизително височината на активното образувание над „повърхността” на Слънцето. За целта измерете необходимите величини по изображенията и направете подходящи усреднения и приближения. Радиусът на Слънцето е 696 000 км.

Отговори

Решение

2 задача. Решение:
Означаваме с $r_0$ радиуса на земната орбита около Слънцето, а с $r_A = r_0 - \Delta r$ радиуса на орбитата на станцията STEREO A ( $\Delta r = 5{,}58 \times 10^6$ км). Нека $T_0$ е орбиталният период на Земята около Слънцето, а $T_A$ – периодът на станцията. Съгласно III закон на Кеплер:

\frac{r_A^3}{T_A^2} = \frac{r_0^3}{T_0^2}

Оттук намираме орбиталния период на станцията STEREO A:

T_A = T_0 \sqrt{\left(\frac{r_A}{r_0}\right)^3} \approx 0{,}9446\ \text{години} \approx 345\ \text{дни}

Да разгледаме движението на станциите в координатна система, в която Земята е неподвижна. След старта те ще се отдалечават по орбитите си от Земята в две противоположни посоки. Тъй като изискването е да са отклонени на еднакви ъгли симетрично от двете страни на Земята, то след време те и двете ще се озоват на 180° от Земята, а след още толкова време ще се съберат отново близо до Земята. Това означава, че синодичните периоди на двете станции са еднакви. Да пресметнем синодичния период $T_S$ на станцията STEREO A:

\frac{1}{T_S} = \frac{1}{T_A} - \frac{1}{T_0}

T_S = \frac{T_0 T_A}{T_0 - T_A} \approx 17{,}0505\ \text{години}

Станцията STEREO B има същия синодичен период и следователно:

\frac{1}{T_S} = \frac{1}{T_0} - \frac{1}{T_B}

където $T_B$ е сидеричният период или истинският орбитален период на станцията STEREO B. Оттук пресмятаме:

T_B = \frac{T_S T_0}{T_S - T_0} \approx 1{,}0623\ \text{години} \approx 388\ \text{дни}

Интервалът от време, за който след старта двете станции ще се отдалечат на 90° от двете страни на Земята и ще могат да фотографират двете противоположни страни на Слънцето, е равен на една четвърт от синодичния период на станциите:

17{,}0505\ /\ 4 \approx 4{,}26\ \text{години} \approx 4\ \text{год.}\ 95\ \text{дни} = 1556\ \text{дни}

Разглеждаме снимките на Слънцето, направени от двете станции STEREO и станцията SOHO. Забелязваме, че на снимката от SOHO активното образувание не е точно в центъра на видимия слънчев диск. Това много затруднява задачата, ако искаме да я решим точно, а приближенията чрез усредняване по измерванията върху двете снимки на станциите STEREO могат да дадат представа за височината на образуванието, но биха били доста неточни. Компромисно решение е да изберем един детайл от активното образувание, който на снимката от SOHO се вижда точно в центъра на видимия слънчев диск, и да определим неговата височина.

Върху снимката STEREO A сме нанесли схема на измерването, като избраният детайл от образуванието е заграден в кръгче. Измерваме диаметъра $d$ на изображението на Слънцето в милиметри. По принцип трябва да измерим отстоянието $a$ на изследвания детайл от центъра на видимия слънчев диск, но по-удобно и по-точно се измерват по-големи отсечки, затова измерваме отстоянието $a'$ . В части от диаметъра на видимия слънчев диск за отстоянието на образуванието от центъра получаваме:

a' = a + d/2

\frac{a}{d} = \frac{a'}{d} - \frac{1}{2}

За двете изображения получаваме съответно:

	$d$	$a'$	$a/d$
STEREO A	49 mm	33.7 mm	0.1917
STEREO B	48 mm	33.5 mm	0.1878

Пресмятаме средното аритметично на отношенията и получаваме $a/d = 0{,}1929$ . Сега остава да го умножим по истинския диаметър на Слънцето, за да получим отстоянието $a$ в километри:

a = 0{,}1929 \times 2 \times 696000\ \text{км} \approx 269000\ \text{км}

Снимка STEREO A с нанесени червени измервателни стрелки: диаметър d, отсечки a и a′, детайлът на образуванието заграден в кръгче.

Схема: кръг „Слънце“ с диаметър d, отстояние a, радиус R, ъгли ψ и ψ′, височина h на активното образувание, стрелки „Към SOHO“ и „Към STEREO A“.

От чертежа вдясно се вижда, че има следната връзка между величината $a$ , радиуса на Слънцето $R$ и височината на активното образувание $h$ :

\frac{a}{R+h} = \sin\psi

където $\psi$ е ъгълът, на който станцията STEREO A отстои по орбитата си от Земята, респективно от линията Земя – Слънце, на която се намира станцията SOHO.

\psi = 42^{\circ}/2 = 21^{\circ}

Оттук намираме:

h = \frac{a}{\sin\psi} - R

h \approx 53000\ \text{км}

Критерии за оценяване (общо 16 т.):
за намиране на орбиталния период на станцията STEREO A – 2 т.
за съобразяване, че двете станции имат еднакъв синодичен период и обяснение – 2 т.
за определяне на синодичния период – 2 т.
за пресмятане на орбиталния период на стнацията STEREO B – 2 т.
за определяне кога станциите ще са от две противоположни страни на Слънцето – 2 т.
за измервания, определяне на мащаби по снимките и усредняване – 2 т.
за правилна математическа постановка на решението – 3 т.
за правилен числен резултат – 1 т.

Оригинал в Архива: NOA3_2013_11-12problems.pdf · официални решения: NOA3_2013_11-12solutions.pdf · допълнителни данни: NOA3_2013_9-10solutions.pdf