Съдържание

НОА 2013, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 3. Пулсар в двойна система

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2013

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, МЛАДЕЖТА И НАУКАТА · XVI НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ · Национален кръг, 13 април 2013 г., Кърджали · ТЕМА ЗА ВЪЗРАСТОВА ГРУПА – XI-XII КЛАС · ТЕОРЕТИЧЕН КРЪГ · 13 април 2013 г. · 15 т.

Условие

3 задача. Пулсар в двойна система. На разстояние 1000 парсека от нас се наблюдава двойна система, състояща се от пулсар и звезда с маса 4 слънчеви маси, която е от Главната последователност върху диаграмата на Херцшпрунг-Ръсел. Максималното видимо ъглово отстояние между двете компоненти е 0.04“, а минималното – 0.01“. Приема се, че апсидната линия (голямата ос) на орбитите е перпендикулярна на зрителния лъч. Орбиталният период на системата е 52.82 години.

• Определете масата на пулсара.

• Пулсарът очевидно е остатък от избухването на по-масивната звезда в системата като свръхнова. Оценете колко вещество е било изхвърлено при тази експлозия, ако се предполага, че непосредствено преди нея двете компоненти са се движили по кръгови орбити около центъра на масите.

Упътване: Разгледайте относителната орбита на едната звезда в координатна система, в която другата звезда е неподвижна. Тогава могат да се използват същите физически закономерности както онези, които описват движението на тяло с много малка маса около неподвижна звезда с маса, равна на сумата от масите на двете звезди.

Отговори

Решение

3 задача. Решение:
Ще разгледаме движението на звездата в координатна система, относно която пулсарът е неподвижен. Да означим с $a$ голямата полуос на относителната орбита, по която звездата се движи около пулсара, намиращ се в един от фокусите на тази орбита. Ако зрителният лъч е перпендикулярен на апсидната линия, то за апоцентралното и перицентралното разстояние на звездата от пулсара получаваме:

r_p = 0{,}01'' \cdot 1000\,pc = 10\ \mathrm{AU} \qquad r_a = 0{,}03 \cdot 1000\,pc = 40\ \mathrm{AU}

a = \frac{r_p + r_a}{2} = 25\ \mathrm{AU}

Означаваме с $M_S$ и $M_p$ масите съответно на звездата и на пулсара, а с $T$ – техния орбитален период. Съгласно III закон на Кеплер:

\frac{a^3}{T^2} = M_S + M_p

където голямата полуос е изразена в астрономически единици, периодът – в земни години, а масите – в слънчеви маси. Оттук за масата на пулсара получаваме:

M_p = \frac{a^3}{T^2} - M_S

M_p \approx 1{,}6\ \text{слънчеви маси}

На схемата с S е отбелязана звездата, с Р – пулсарът, с $v_p$ и $v_a$ скоростите на движение на звездата по относителната орбита съответно в перицентъра и апоцентъра. С пунктирана линия е дадена кръговата орбита, по която се е движила звездата преди взривяването на свръхновата.

Схема на елиптична орбита със звезда S, пулсар P, скорости v_p и v_a, разстояния r_p и r_a и пунктирана кръгова орбита.

Първоначално звездата S е била по-леката компонента в двойната система. Пулсарът е остатък от по-масивната звезда, която е избухнала като свръхнова.

Тогава по-леката звезда S се е движила около по-тежката звезда със скорост, равна на $v_p$ по кръгова орбита с радиус, равен на $r_p$ . Първо ще определим тази скорост. Съгласно II закон на Кеплер:

v_p r_p = v_a r_a

Използваме и закона за запазване на енергията, написан за случая на движение на леко тяло около неподвижен обект с маса, равна на сумата от масите на звездата и пулсара:

\frac{v_p^2}{2} - \frac{\gamma (M_p + M_S)}{r_p} = \frac{v_a^2}{2} - \frac{\gamma (M_p + M_S)}{r_a}

Оттук получаваме:

v_p = \sqrt{\frac{2\gamma (M_p + M_S)}{r_a + r_p} \cdot \frac{r_a}{r_p}} = \sqrt{\frac{\gamma (M_p + M_S)}{a} \cdot \frac{r_a}{r_p}}

Да означим с $M_0$ масата на звездата-предшественик на пулсара преди експлозията. Тогава другата звезда се е движила около нея по кръгова орбита, като е била в сила следната зависимост:

v_p = \sqrt{\frac{\gamma (M_0 + M_S)}{r_p}}

От последните две равенства намираме:

M_0 = (M_p + M_S)\frac{r_a}{a} - M_S

M_0 \approx 5\ \text{слънчеви маси}

Първоначалната маса на звездата, която е избухнала като свръхнова, е била 5 слънчеви маси. При превръщането си в пулсар тя е изгубила $M_0 - M_p = 3{,}4$ слънчеви маси вещество.

Критерии за оценяване (общо 15 т.):
За определяне на перицентралното и апоцентралното разстояние – 2 т.
За правилен начин за определяне на масата на пулсара – 3 т.
За верен числен резултат – 1 т.
За правилна обща физическа идея, обясняваща изменението на орбитата на звездата след експлозията – 2 т.
За правилна математическа постановка на решението – 6 т.
За верен числен резултат – 1 т.

Оригинал в Архива: NOA3_2013_11-12problems.pdf · официални решения: NOA3_2013_11-12solutions.pdf · допълнителни данни: NOA3_2013_9-10solutions.pdf