НОА 2015, II кръг (областен), 9–10 клас — Задача 4. Носталгия по Земята

• А. На изток – в посоката на околоосното въртене на планетата.

• Б. $T = \frac{48\ \text{ч}}{1.5} = 32\ \text{ч}$

  Скоростта на точка от екватора е 48 000 / 48 = 1000 км/ч; относно оста самолетът се движи с 1000 + 500 = 1500 км/ч, т.е. 1.5 пъти по-бързо.

• В. $\varphi = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$

  Дължината на паралела трябва да е 24 000 км, т.е. $r = R/2$, откъдето ъгълът от полюса е 30°.

Членовете на земната колония трябва да се движат на изток. Така скоростта на движението им относно оста на планетата ще бъде сбор от скоростта на въртене на точките от повърхността и скоростта на самолета. Смяната на деня и нощта за тях ще става по-бързо – все едно те ще правят едно завъртане около оста на планетата за по-кратък период от периода на денонощното й въртене. Щом планетата прави едно завъртане около себе си за 48 часа и нейната обиколката по екватора е 48 000 км, то скоростта на точка от повърхността на планетата ще бъда 48 000 / 48 = 1000 км/ч. Скоростта на самолета относно оста на планетата ще бъде 1000 + 500 = 1500 км/ч. Това означава, че за пътуващите в самолета денят и нощта ще се сменят 1.5 пъти по-бързо, отколкото ако стоят на повърхността. Денонощието за тях ще продължава 48 ч. / 1.5 = 32 ч. Това очевидно е повече от 24 часа и по тази причина те не са напълно доволни.

Нека обърнем внимание на факта, че земното денонощие от 24 часа е точно 2 пъти по-кратко, отколкото денонощието на планетата. Ако земните жители искат да имат на самолета денонощие с продължителност 24 часа, те трябва да отидат на паралел, по който да могат да обикалят със самолета за двойно по-кратко време в сравнение с времето на завъртане на планетата. Скоростта на движение на самолета относно оста на планетата трябва да е два пъти по-голяма от скоростта на точките от повърхността по този паралел. Следователно скоростта на въртене на точките от повърхността трябва да е равна на 500 км/ ч. и събрана със скоростта на самолета от 500 км/ч. ще даде двойно по-голяма скорост относно оста на планетата. За да е изпълнено това, необходимо е дължината на паралела да е 24 000 км – двойно по-малка от обиколката на планетата по екватора. Тогава скоростта на самолета относно оста на планетата ще бъде равна на 500 + 500 = 1000 км/ч. и смяната на деня и нощта за пътниците в него ще бъде 24 часа. Щом обиколката на този паралел е двойно по-малка от обиколката на екватора, то и неговият радиус $r$ ще бъде двойно по-малък от радиуса на планетата $R$.

Както се вижда от чертежа, в правоъгълния триъгълник $OO'A$ катетът $O'A$ е двойно по-малък от хипотенузата $OA$. Това означава, че ъгълът, лежащ срещу този катет, е равен на 30°. Следователно точките от паралела отстоят на 30° от полюса на планетата и тяхната планетографска ширина трябва да бъде 90° – 30° = 60°.

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

• За определяне на посоката на летене на самолета и обяснение – 2 т.
• За правилен метод на пресмятане на денонощието, когато земляните летят по екватора на планетата – 4 т.
• За верен числен отговор – 1 т.
• За правилен начин на определяне на паралела, по който да лети самолетът – 4 т.
• За верен отговор за планетографската ширина – 1 т.