Съдържание

НОА 2015, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 1. Критична ситуация

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2015

XVIII Национална олимпиада по астрономия 2015, национален кръг, тема за възрастова група XI-XII клас (теоретичен и практически кръг) · 2 май 2015 г. · 15 т.

Условие

След дълги години полет в състояние на хибернация космонавтите от екипажа на междузвезден кораб се събуждат и разбират, че са попаднали в беда. В резултат на близко прелитане покрай планета, кръжаща около черна дупка, корабът е захванат в орбита около черната дупка. С помощта на тримерния звезден атлас космонавтите откриват Слънцето – то се вижда като звезда от $6.43^{m}$ в направление, перпендикулярно към орбиталната равнина на кораба. Наблюденията им показват, че то описва паралактична елипса, която е представена на фигурата. До наблюдаваните позиции на Слънцето са дадени моментите от време. Абсолютната звездна величина на Слънцето е $4.83^{m}$ .

А) Определете масата на черната дупка.

Б) С най-мощния ракетен импулс, на който са способни двигателите, скоростта на кораба може да се измени с $\Delta V = 55$ km/s. Горивото стига за два такива импулса. Минималното време за подготовка на двигателите преди всеки импулс е 40 часа.

Опишете как за най-кратко време корабът може да се освободи от гравитационната прегръдка на черната дупка и да се отправи в междузвездното пространство.

Паралактичната елипса, описвана от Слънцето, с отбелязани моменти от време до наблюдаваните позиции; мащабна отсечка $0.005''$. — Паралактичната елипса, описвана от Слънцето, с отбелязани моменти от време до наблюдаваните позиции; мащабна отсечка $0.005''$ .

Отговори

Решение

Решение:

Като сравним видимата звездна величина $m_{o}$ и абсолютната звездна величина $M_{o}$ на Слънцето, можем да определим разстоянието $r$ от кораба до него. В сила е следното съотношение:

m - M = 5\log r - 5

Оттук намираме:

r = 20.9\ \text{pc}

Следователно паралаксът на Слънцето е:

p = \frac{1}{r} \approx 0''.04786

Измерваме паралактичната елипса и от дадения ъглов мащаб намирме, че нейната голяма полуос е равна на $0''.005$ . Оттук намираме линейния размер на голямата полуос на орбитата на кораба около черната дупка:

a = \frac{0''.005}{0''.04786} \approx 0.1049\ \text{AU}

Означените моменти на наблюдение по паралактичната елипса са 20 на брой и наблюденията са правени през нтервал от 4 ч. 20 м. Това означава, че орбиталният период на кораба около черната дупка е $20\times 4^{h}20^{m} \approx 86.67^{h} \approx 3.6^{d} \approx 0.009887$ год.

Като използваме голямата полуос на орбитата на кораба в астрономически единици и орбиталния му период в земни години, можем да напишем третия закон на Кеплер във вида:

\frac{a^{3}}{T^{2}} = M

където $M$ е масата на черната дупка в слънчеви маси. Така получаваме:

M \approx 11.8\ \text{слънчеви маси}

Слънцето се намира в посока перпендикулярна на орбиталната равнина на кораба. Това означава, че паралатичната елипса на Слънцето е геометрически подобна на орбитата на кораба. Разположението на наблюдаваните точки показва, че в перицентъра орбиталната скорост на кораба $v_{p}$ е два пъти по-голяма от скоростта $v_{a}$ в апоцентъра. Ако с $r_{p}$ и $r_{a}$ означим съответно перицентралното и апоцентралното разстояние на кораба, то съгласно втория закон на Кеплер:

v_{p}r_{p} = v_{a}r_{a}

Оттук и от съотношението на скоростите следва, че:

r_{p} : r_{a} = 1 : 2

Следователно:

r_{p} = \frac{2a}{3} \approx 0.0699\ \text{AU} \qquad r_{a} = \frac{4a}{3} \approx 0.140\ \text{AU}

Изхождайки от закона за запазването на енергията, може да се докаже, че когато увеличаваме скоростта на движещото се тяло с една и съща величина $\Delta v$ в различни точки от орбитата му около някакъв гравитационен център, неговата пълна механична енергия не нараства с една и съща величина. При по-голяма първоначална скорост на тялото, след придаване на допълнителната скорост $\Delta v$ се получава по-голямо увеличение на пълната енергия. Следователно най-ефективно е ускоряването на кораба да става в моментите, когато той се движи с най-голяма скорост, а именно – около перицентъра на орбитата.

Да пресметнем скоростта на кораба в перицентъра. Съгласно закона за запазване на енергията:

\frac{mv_{p}^{2}}{2} - \frac{\gamma Mm}{r_{p}} = -\frac{\gamma Mm}{2a}

v_{p} = \sqrt{\gamma M\left(\frac{2}{r_{p}} - \frac{1}{a}\right)} \approx 458\ \text{km/sec}

За да се изтръгне от гравитационното привличане на черната дупка и да се отправи в междузвездното пространство, в точката на перицентъра корабът трябва да има скорост:

v_{p}'' = \sqrt{\frac{2\gamma M}{r_{p}}} \approx 561\ \text{km/sec}

Разликата между тези скорости е:

v_{p}'' - v_{p} = 103\ \text{km/sec}

С един ракетен импулс на кораба може да се придаде допълнителна скорост $\Lambda v = 55$ km/sec и горивото стига за два такива импулса, или за увеличение на скоростта общо със 110 km/sec. Така че корабът може да бъде спасен, мака и на границата на възможностите. Добре би било, ако двата импулса се дадат един след друг в точката на перицентъра. Но е необходимо време за подготовка на двигателите 40 часа след всеки импулс. Интервалът от 40 часа е близък до половината от орбиталния период на кораба. След придаването на първия импулс в перицентъра корабът ще лети 40 часа и тогав ще е близо до апоцентъра на своята орбита, макар и този апоцентър да се отдалечи поради увеличената скорост от първия ракетен импулс. Скоростта на кораба ще е значително по-малка, отколкото в перицентъра. Ако в този момент се подаде вторият импулс, увеличението на енергията на кораба няма да е достатъчно, за да се изтръгне от гравитацията на черната дупка и горивото ще е изразходвано напразно. Ще се наложи да се изчака завръщането на кораба в перицентъра или поне достатъчно близо до перицентъра и тогава да се подаде вторият импулс.

След подаването на първия ракетен импулс скоростта на кораба в перихелия става $v_{p}' = 458 + 55 = 513$ km/sec. Записваме отново закона за запазване на енергията:

\frac{mv_{p}'^{2}}{2} - \frac{\gamma Mm}{r_{p}} = -\frac{\gamma Mm}{2a'}

където $a'$ е голямата полуос на новата орбита на кораба. Оттук получаваме:

a' = \frac{2r_{p}\gamma M}{2\gamma M - v_{p}'^{2}} = \frac{2\gamma M}{v_{p}''^{2} - v_{p}'^{2}} \approx 0.407\ \text{AU}

Виждаме, че голямата полуос на орбитата се увеличава 4 пъти!

Съгласно тертия закон на Кеплер:

\frac{a'^{3}}{T'^{2}} = M

където $T'$ е новият орбитален период.

T' \approx 27.6\ \text{денонощия}

Следователно маневрите по освобождаването на кораба от гравитационния плен на черната дупка ще отнемат близо един месец.

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

За определяне на разстоянието до Слънцето – 2 т.
За правилен теоретичен метод за определяне на масата на черната дупка и измерване на елипсата – 2 т.
За вярна числена стойност на масата – 1 т.
За правилен теоретичен метод за определяне на скоростта на кораба в перицентъра и измервания върху елипсата с цел определяне на съотношението на скоростите или пък на ексцентрицитета – 3 т.
За вярна числена стойност за скоростта в перицентъра – 1 т.
За правилна преценка дали горивото ще е достатъчно – 1 т.
За правилен подход при определяне на моментите на подаване на ракетните импулси – 2 т.
За правилен теоретичен метод за оценяване на необходимото време –2 т.
За правилна оценка на времето – 1 т.

Оригинал в Архива: NOA3_2015_11-12problems.pdf · официални решения: NOA3_2015_11-12solutions.pdf