Съдържание

НОА 2015, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 2. Позиции на Слънцето

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2015

XVIII Национална олимпиада по астрономия 2015, национален кръг, тема за възрастова група XI-XII клас (теоретичен и практически кръг) · 2 май 2015 г. · 13 т.

Условие

В хода на подготовката си за астрономическата олимпиада, начинаещ участник в нея е твърде озадачен като научава, че Слънцето много рядко изгрява от изток и залязва на запад. Все пак, си казва той, в момента на пролетното равноденствие съществува едно място на екватора, където Слънцето тогава изгрява и то, точно от изток.

А) Къде ще бъде точката на залеза на Слънцето за това място в същия ден?

Б) Пътешествайки мислено по земния глобус, участникът в олимпиадата си представя място, където 3 дни след пролетното равноденствие Слънцето кулминира в зенита. На каква ширина е това място? Кога ще бъде следващият път, когато Слънцето отново ще кулминира в зенита за място със същата географска ширина? Дали това ще бъде същото място и по географска дължина?

Отговори

Решение

Решение:

Нека се намираме в точка от екватора, в която Слънцето изгрява точно в момента на пролетно равноденствие. Ако пренебрегнем рефракцията, в момента на изгрева точката на пролетното равноденствие ще бъде на хоризонта, точно в посоката изток. След като премине точката на пролетно равноденствие, Слънцето продължава своето движение по еклиптиката, отдалечавайки се постепенно от небесния екватор. Ъгълът между еклиптиката и небесния екватор на небесната сфера, в района на точките на пролетното и есенното равноденствие, е равен на наклона на оста на Земята към оста на нейната орбита $\varepsilon = 23°\ 26'$ . На екватора не само всички големи кръгове по небесната сфера, но и небесните паралели се разделят от математическия хоризонт на две равни части. Ако приемем, че Слънцето се движи със скоростта на “средното слънце”, т.е. проекцията на видимото му денонощно движение върху небесния екватор е равномерна, то ще залезе точно след 12h. Средното движение на Слънцето по еклиптиката е: $\Delta l_{d} = 360°/365^{d}.2564 = 0.9856\ °/d$ . За половин слънчево денонощие пътят на “средното слънце” ще бъде $\Delta l_{d}/2 = 0°.4928 = 29'\ 34''$ .

Геометрия на залеза: хоризонт, еклиптика и небесен екватор в точката E, с означени $\Delta l_{d}/2$, $\Delta\alpha/2$, $\Delta\delta$ и ъгъла $\varepsilon$. — Геометрия на залеза: хоризонт, еклиптика и небесен екватор в точката E, с означени $\Delta l_{d}/2$ , $\Delta\alpha/2$ , $\Delta\delta$ и ъгъла $\varepsilon$ .

За това време Слънцето ще се отдалечи от небесния екватор на следния ъгъл (поради малките ъглови отмествания, относно звездите, работим в планиметрично приближение чиято точност е достатъчна) :

\Delta\delta = \frac{\Delta l_{d}}{2}\sin \varepsilon \approx 0.^{\circ}196 \approx 11'46''

Следователно може да очакваме Слънцето да залезе на север от точката “запад”, на ъглово разстояние $11'\ 46''$ .

Това, обаче, е някакво приближение на отместването на Слънцето при залез от точката “запад”. По-правилен резултат може да очакваме да получим като уточним времето, за което Слънцето достига хоризонта на запад в първия пролетен ден. Поради наклона на еклиптиката относно хоризонта Слънцето се движи под ъгъл относно небесния екватор. Проекцията върху небесния екватор на средното движение на Слънцето по еклиптиката е:

\Delta\alpha = \Delta l_{d} \cdot \cos \varepsilon

Следователно ъгловата скорост на Слънцето относно небесния екватор ще бъде по-малка от средното движение по еклиптиката. Тогава Слънцето няма да залезе след 12 часа, а по-рано. Полученото съотношение между средната и моментната ъглова скорост относно небесния екватор ще използваме, за да определим след колко време Слънцето ще достигне западния хоризонт. За да получим продължителността на средното слънчево денонощие, което използвахме за приблизителното решение на задачата, изваждаме от ъгловата скорост на околоосно въртене на Земята ъгловата скорост на движението на Земята по нейната орбита около Слънцето:

\omega_{S} = \omega - \omega_{Y}

\frac{1}{T_{S}} = \frac{1}{T} - \frac{1}{T_{Y}}

Намаляването на моментната ъглова скорост на проекцията на движението на Слънцето по небесния екватор с фактор $\cos \varepsilon$ може да се разглежда като удължаване на звездната година със същия коефициент. Следователно може да запишем следното равенство:

\frac{1}{T_{S}'} = \frac{1}{T} - \frac{\cos \varepsilon}{T_{Y}}

Тогава за продължителността на слънчевото денонощие получаваме:

T_{S}' = \frac{T \cdot T_{Y}}{T_{Y} - T \cdot \cos \varepsilon}

Една звездна година съдържа 365.2564 слънчеви денонощия и 366.2564 звездни денонощия. Следователно продължителността на едно звездно денонощие, изразено в слънчеви денонощия е

T = \frac{365.2564}{366.2564} = 0.99726957 \quad \textit{средни слънчеви денонощия}

Тогава за продължителността на моментното слънчево денонощие получаваме:

T_{S}' = 0^{d}.999774143 = 23^{h}59^{m}40^{s}.5

Виждаме, че разликата е много малка. Коригираният резултат от приблизителните пресмятания е:

\Delta\delta' = 0.999774 \cdot \Delta\delta \approx 11'45''

Ако отчитаме рефракцията трябва да удължим денонощието. Стойността на рефракцията на хоризонта е около половин градус. Точната стойност обикновенно е около $36' = 0.^{\circ}6$ . Земята се завърта на този ъгъл за време

\Delta t = \frac{0^{\circ}.6}{360^{\circ}} \cdot T = 0^{h}.03989 = 0^{h}02^{m}23^{s}.6

Това ще удължи във времето пътя на Слънцето с удвоеното време $\Delta t$ .

\Delta t_{2} = 2 \cdot \Delta t = 0^{h}.079781

12^{h} + 0^{h}.079781 = 12^{h}.079781 = 0^{d}.5033242

\Delta l_{d} \cdot 0^{d}.5033242 = 0^{\circ}.496076 = 29'46''

Това е пътят, който Слънцето ще измине, преди да достигне хоризонта на запад. Ъгълът на който ще се премести по деклинация ще бъде:

\Delta\delta' = \Delta\delta \cdot \frac{0^{\circ}.4961}{0^{\circ}.4928} \approx 11'50''

Три денонощия след пролетното равноденствие, деклинацията, на която Слънцето ще се премести, ще бъде приблизително шест пъти по-голяма отколкото за 12 часа (запазваме планиметричното приближение). Географската ширина, за която Слънцето ще бъде в зенита, ще бъде числено равна на деклинацията.

\varphi = \delta = 6\Delta\delta \approx 1°10'30''

На същата географска ширина Слънцето ще кулминира в зенита приблизително три денонощия преди есенното равноденствие.

Поради това, че между пролетното и есенното равноденствие не се съдържа цял брой слънчеви денонощия и поради неравномерното движение на Земята по орбитата, тогава Слънцето няма да кулминира в зенита на същата географска дължина.

Критерии за оценяване (общо 13 т.):

За правилна геометрична постановка и чертеж – 3т.
За правилна математическа постановка и пресмятане на отместването по деклинация – 5т.
За правилен отговор какве е географската ширина мястото – 2т.
За правилен отговор кога е следващата кулминация в зенита на същата географска ширина – 2т
За правилен отговор за географската дължина – 1т.
( Допълнителни точки за прецизно пресмятане на моментната ъглова скорост на Слънцето и за отчитане на влиянието на рефракцията – общо 2 т. )

Оригинал в Архива: NOA3_2015_11-12problems.pdf · официални решения: NOA3_2015_11-12solutions.pdf