Съдържание

НОА 2015, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 3. Луната в океана

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2015

XVIII Национална олимпиада по астрономия 2015, национален кръг, тема за възрастова група XI-XII клас (теоретичен и практически кръг) · 2 май 2015 г. · 14 т.

Условие

Вие сте на астрономическа експедиция на Луната по време на пълнолуние и забелязвате, че се вижда светло петънце на нощната страна Земята. Поглеждате с телескоп и виждате, че Земята е обърната така, че почти цялата видима част е заета от Тихия океан, който се оказва наистина много тих, без вълни, с много спокойна гладка повърхност и много чиста атмосфера, без никакви облаци над него. Светлото петънце се оказва отражението на Луната в океана. Знаете, че от Земята в момента Луната има видима звездна величина $m_{L} = -\,12^{m}.74$ .

Определете видимата звездна величина на отражението на Луната в Тихия океан.

При отражение от гладка повърхност между две прозрачни среди, въздух – стъкло, въздух – вода и др., се отразяват обратно около 4 процента от падналата светлина.

Справочни данни:

Средно разстояние Земя – Луна – 384 000 км.
Радиус на Земята – 6378 км
Маса на Слънцето $2 \times 10^{30}$ кг
Гравитационна константа $6.67 \times 10^{-11}$ м $^{3}$ /кг.с $^{2}$
Наклон на еклиптиката към небесния екватор $23°26'$
Звездна година 365.2564 денонощия

Отговори

Решение

Решение:

Повърхността на Тихия океан играе ролята на сферично огледало. Всъщност, обърната към наблюдателя по този начин, цялата Земя може да се разглежда като огледална сфера. Знаем, че огледална сфера, осветена от успореден сноп лъчи, отразява светлината равномерно във всички посоки. Тя може да се разглежда като източник на светлина. Светлината, която Земята отразава в разглеждания случай, е равна на осветеността, която Луната създава на земната повърхност умножена на площта на диска, който отразява светлината. В случая това е площта на диска на Земята. Трябва да отчетем, че повърхността на водата отразява само 4% от падналата светлина, както и поглъщането в атмосферата на Земята. При чиста атмосфера, на морско ниво, може да приемем, че поглъщането е 20%. Светлината, обаче, преминава два пъти през земната атмосфера. Затова трябва два пъти да умножим по коефициента на пропускане на земната атмосфера, който е 0.8. Нека осветеността от Луната е $E_{L}$ . Тогава светлината от Луната, която Земята ще отрази в космическото пространство, ще бъде:

\Phi = \pi R_{E}^{2} \cdot k_{1}^{2}k_{2}E_{L}

където $k_{1} = 0.8$ е коефициентът на пропускане на земната атмосфера, $k_{2} = 0.04$ е коефициентът на отражение от водната повърхност. Тогава разликата в звездната величина между наблюдаваната на небето и отразената от океана Луна, ще бъде:

\Delta m = 2.5\lg \frac{4\pi r_{L}^{2} \cdot E_{L}}{\pi R_{E}^{2} \cdot k_{1}^{2}k_{2}E_{L}} = 2.5\lg \frac{4r_{L}^{2}}{k_{1}^{2}k_{2}R_{E}^{2}} \approx 14.38

Тук взехме предвид, че наблюдаваме отражението на Луната от самата Луна, която е отдалечена от Земята на разстояние $r_{L}$ .

Разбира се, би било по-точно, ако вземем разстоянието до наблюдателя на Луната равно на разстоянието от земната повърхност до лунната повърхност: $r_{obs} = r_{L} - R_{E} - R_{L}$ , но това няма да промени съществено резултата, особено като имаме предвид приблизителната стойност на прозрачността на земната атмосфера, която сме приели.

Звездната величина на наблюдаваното отражение на Луната е:

m_{ref} = m_{L} + \Delta m \approx 1.6

Критерии за оценяване (общо 14 т.):

За правилни разсъждения относно отражението на лъчите от Земята – 2т.
За отчитане на поглъщането в земната атмосфера – 2т.
За правилно представяне на светлината отразена от Земята – 4т.
За правилен подход към пресмятането на звездната величина на отражението на Луната от океана – 4т
За използване на точното разстояние или правилен коментар – 1т.
За верен числен резултат – 1т.

Оригинал в Архива: NOA3_2015_11-12problems.pdf · официални решения: NOA3_2015_11-12solutions.pdf