Съдържание

НОА 2015, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 3. Планета около двойна звезда

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2015

XVIII Национална олимпиада по астрономия 2015, национален кръг, тема за възрастова група IX-X клас (теоретичен и практически кръг) · 2 май 2015 г. · 16 т.

Условие

През 2011 година, по наблюдения на космическия телескоп “Кеплер”, е открита затъмнително двойна звезда, състояща се от червено джудже ( $M_1 = 0.51 M_S$ , $R_1 = 0.540 R_S$ , $T_1 = 3450 K$ ) и бяло джудже ( $M_2 = 0.592 M_S$ , $R_2 = 0.01345 R_S$ , $T_2 = 7100 K$ ). Периодът на системата е $p = 1^{d}.37865$ . Представете си, че около двете звезди, обикаля планета с радиус 1.5 пъти по-голям от радиуса на Земята и се наблюдават и пасажи на планетата по дисковете на звездите. Периодът на планетата е $25^{d}.505025$ .

Радиус на Земята: $R_3 = 6378$ km
Радиус на Слънцето: $R_S = 700000$ km

А) Пресметнете амплитудата на възможните взаимни пасажи и затъмнения в тази система. Не забравяйте, че фотометричната точност на телескопа “Кеплер” е $0^{m}.0001$ (една десетохилядна от звездната величина). Нарисувайте схеми на разположението на трите тела при взаимните явления.

Б) При пасаж на бялото джудже по диска на червеното джудже е установено, че амплитудата на блясъка е забележимо по-малка от тази, която се получава от пресмятанията. Отнякъде се взема допълнително светлина, която намалява амплитудата на минимума. Това явление е получило обяснение, когато астрономите си спомнили за голямата плътност на белите джуджета. Опитайте се и вие да дадете обяснение откъде се взема допълнителната светлина.

Отговори

Решение

Нека въведем следните означения: $R_p$ – радиус на планетата, $R_1$ – радиус на червеното джудже, $R_2$ – радиус на бялото джудже, $T_1$ – температура на червеното джудже, $T_2$ – температура на бялото джудже.

Първо пресмятаме радиуса на планетата в слънчеви радиуси. Той се оказва малко по-голям от радиуса на бялото джудже:

R_p = 0.01367\,R_S

R_p > R_2

Следователно планетата може изцяло да закрие бялото джудже.

Възможните явления, които могат да бъдат регистрирани с телескопа Кеплер и от които може да очакваме различни по амплитуда изменения на блясъка, са следните:

Затъмнение на бялото джудже от червеното джудже ;
Пасаж на бялото джудже по диска на червеното джудже;
Пасаж на планетата по диска на червеното джудже;
Едновременно преминаване на бялото джудже и планетата пред червеното;
Планетата затъмнява бялото джудже и червеното джудже;

При други взаимни явления се възпроизвеждат ситуации, при които амплитудите са същите, както на описаните по-горе явления или са много малки, за да бъдат регистрирани от телескопа “Кеплер”. Например затъмнение на бялото джудже от планетата. Тази конфигурация води до същия резултат, както и първият случай, понеже наблюдателят вижда светлина само от червеното джудже.

При пресмятането на амплитудите, ние ще използваме отношенията на осветеностите, създавани от телата при всяка една от конфигурациите, към осветеността създавана от двете звезди едновременно (когато те не се затъмняват една друга или от планетата). Отношенията на осветеностите са пропорционални на отношенията на светимостите. Затова може да работим с тези отношения. Освен това осветеностите на два източника се събират, когато ги разглеждаме като един. Използвайки тези разсъждения, се получават следните резултати за разглежданите случаи:

Като основна конфигурация приемаме, че се виждат двете звезди и планетата не затъмнява нито една от тях:

Основна конфигурация: виждат се двете звезди и планетата не затъмнява нито една от тях. Отляво – изглед отстрани с посока към наблюдателя, отдясно – видът от наблюдателя.

E = E_1 + E_2

Затъмнение на бялото джудже от червеното джудже.

Затъмнение на бялото джудже от планетата.

Тези два случая водят до един и същи резултат за наблюдателя. Вижда се само червеното джудже.

\frac{E_1}{E_1 + E_2} = \frac{1}{1 + \dfrac{E_2}{E_1}} = \frac{1}{1 + \left(\dfrac{R_2}{R_1}\right)^{2}\cdot\left(\dfrac{T_2}{T_1}\right)^{4}} ;

\Delta m = 2.5\cdot\lg\left(\frac{E_1}{E_1 + E_2}\right) \approx 0.012

Формулата на Погсон използваме без знака минус, защото се интересуваме от абсолютната стойност на амплитудата. Общи съображения е ясно, че всички явления водят до намаляване на блясъка на двойната звезда.

Пасаж на бялото джудже по диска на червеното джудже.

За да получим осветеността от обекта, от светещия диск на червеното джудже вадим светещ кръг, който е засенчен от бялото джудже. Това е кръг с радиус, равен на радиуса на бялото джудже и температура, равна на температурата на червеното джудже. Означаваме осветеността, която той създава с $E_1'$ .

E_1' = E_2\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{4} = E_1\left(\frac{R_2}{R_1}\right)^{2}

\frac{E_1 + E_2 - E_1'}{E_1 + E_2} = 1 - \frac{1}{\left(\dfrac{T_2}{T_1}\right)^{4} + \left(\dfrac{R_1}{R_2}\right)^{2}} ;

\Delta m \approx 0.0007

Пасаж на планетата по диска на червеното джудже.

Трябва от общата осветеност, създавана от двете звезди, да извадим осветеността създавана от кръг с радиус, равен на радиуса на планетата, и температурата на червеното джудже. Осветеността, която трябва да извадим от общата осветеност е:

E_1'' = E_1\left(\frac{R_p}{R_1}\right)^{2}

\frac{E_1 + E_2 + E_1''}{E_1 + E_2} = 1 - \frac{\left(\dfrac{R_p}{R_1}\right)^{2}}{\left[1 + \left(\dfrac{R_2}{R_1}\right)^{2}\cdot\left(\dfrac{T_2}{T_1}\right)^{4}\right]}

\Delta m \approx 0.0007

Получаваме практически същата амплитуда, както и в предходния случай. Това се дължи на това, че размерите на планетата много малко надвишават размерите на бялото джудже и допълнителната площ, която тя закрива, променя много малко общата осветеност. Това, обаче, е трудно да се оцени, преди да бъдат направени конкретните пресмятания.

Едновременно преминаване на бялото джудже и планетата пред червеното.

От общата осветеност, създавана от двете звезди изваждаме осветеността създавана от двете засенчени площи от диска на червената звезда:

\frac{E_1 + E_2 - E_1' - E_1''}{E_1 + E_2} = 1 - \frac{1}{\left(\dfrac{T_2}{T_1}\right)^{4} + \left(\dfrac{R_1}{R_2}\right)^{2}} - \frac{1}{\left(\dfrac{R_1}{R_2}\right)^{2} + \left(\dfrac{R_2}{R_1}\right)^{2}\cdot\left(\dfrac{T_2}{T_1}\right)^{4}}

\Delta m \approx 0.00135

Планетата затъмнява бялото джудже, докато те преминават пред червеното джудже.

\frac{E_1 - E_1''}{E_1 + E_2} = \frac{1 - \left(\dfrac{R_p}{R_1}\right)^{2}}{1 + \left(\dfrac{R_2}{R_1}\right)^{2}\cdot\left(\dfrac{T_2}{T_1}\right)^{4}}

\Delta m \approx 0.0127

Този случай е еквивалентен на случая, когато планетата преминава пред диска на червената звезда а бялото джудже е зад нея.

Когато бялото джудже се намира пред червеното джудже, се създават условия да се прояви ефектът на т.н. гравитационна леща. Всяка точка от повърхността на червената звезда излъчва във всички посоки. Тези лъчи, които са насочени към наблюдателя, участват във формиране на изображението. Когато, обаче, пред звездата се намира компактен обект (с малки размери и голяма маса), поради силното гравитационно поле в близост до него, пространството се изкривява, което променя хода на разпространение на светлината. Част от лъчите, които тръгват в различни посоки, но преминават близо до бялото джудже, изкривяват своя ход и някои от тях се насочват към наблюдателя. В това число и лъчи излъчени от засенчената зона зад бялото джудже. Затова покрай неговото изображение се оформя пръстен от светлина, наречен пръстен на Айнщайн, която първоначално е тръгнала в леко различаваща се посока. Именно светлината от пръстена на Айнщайн е допълнителната светлина, която променя амплитудата на намаляване на блясъка на двойната звезда, при преминаване на бялото джудже пред червеното.

Схема на ефекта на гравитационната леща: лъчи от червеното джудже, преминаващи близо до бялото джудже, се отклоняват към наблюдателя и образуват пръстен на Айнщайн.

Критерии за оценяване (общо 16 т.):

За пресмятане на радиуса на планетата в слънчеви радиуси – 1т.
За правилни разсъждение и постановка на решението на задачата – 3т.
За правилни схеми и пресмятания на основните 5 случая – 5 x 2т. = 10т.
За смислен коментар относно гравитационната леща – 2т.

Оригинал в Архива: NOA3_2015_9-10problems.pdf · официални решения: NOA3_2015_9-10solutions.pdf