НОА 2015, IV кръг, Младша възраст — Задача 1. Звезда и планета

• • $r \approx 156\ \mathrm{pc},\quad M \approx 10\,M_{SUN},\quad m \approx 1{,}4^m$

  a = V·T/(2π) = 10 AU; r[pc] = a[AU]/δ["] ≈ 156 pc; M = a[AU]³/T[г]² = 10 M_SUN.

• • Не. Планетата е на 10 AU от звезда със светимост 5 000 пъти слънчевата, т.е. осветеността на повърхността ѝ е около 50 пъти по-голяма от тази върху земната повърхност — условията за живот, подобен на нашия, биха били много неблагоприятни. Освен това животът на такива звезди е само няколко десетки милиона години.

Решение:

Означаваме с V орбиталната скорост на планетата, с T нейния орбитален период. Радиусът на нейната орбита е:

Означаваме максималното видимо ъглово отстояние на планетата с $\boldsymbol{\delta}$. Това е ъгловият размер на радиуса на планетната орбита, гледана от Земята. Следователно, ако означим с r разстоянието то Земята до звездата, то можем да запишем следното равенство:

Използвайки третия закон на Кеплер, намираме масата М на звездата около която планетата орбитира:

По условие звездата принадлежи на Главната последователност. Ние получихме, че тя има маса, която е 10 пъти по-голяма от масата на Слънцето. Това е типична маса за син гигант от спектрален клас В. Времето за живот на подобни звезди е няколко десетки милиона години, поради което наличиет*о на планети в орбита около тях не е типично явление. Разумно предположение за светимостта на такива гиганти е примерно L = 5 000 L$_{\text{SUN}}$. Ако означим с $\mathrm{M}^V_{\mathrm{SUN}} = 4{,}8^m$ абсолютната визуална звездна величина на Слънцето, то тази звездна величина на звездата е:

От тук намираме, че видимата звездна величина на звездата за земния наблюдател е:

Тъй като проникващата способност на човешкото око е около $\mathbf{6^m}$, то тази звезда може да бъде наблюдавана с невъоръжено око.

Получихме, че планетата се намира на разстояние 10 AU от звездата си, т.е. на разстояние 10 пъти по-голямо от това между Земята и Слънцето. От друга страна, оценихме, че звездата има 5 000 пъти по-голяма светимост от слънчевата. Следователно, можем да заключим, че осветеността, която се създава на повърхността на планетата е около 50 пъти по-голяма от тази върху земната повърхност. Това означава, че там условията за живот, подобен на нашия, биха били много неблагоприятни.

Критерии за оценка (18т.):

• За намиране радиуса на планетната орбита - 2т.
• За намиране на разстоянието до звездата – 2т.
• За пресмятане на масата на звездата – 2т.
• За правилни разсъждения, относно физическите характеристики на звездата – 4т.
• За правдоподобна оценка на светимостта на звездата – 2т.
• За намиране на абсолютната звезда величина на звездата – 2т.
• За пресмятане на видимата звездна величина и извод дали ще се вижда с невъоръжено око - 2т.
• За коментар, относно условията на живот на планетата – 2т.