НОА 2016, IV кръг, Младша възраст — Задача 1. Двойна звезда

• Двете звезди не могат да бъдат гравитационно свързана система.

Решение:

Да означим условно едната звезда с 1, а другата с 2. Нека преминем в координатна система, която е неподвижно свързана със звездата 1. Ще разглеждаме движението на звездата 2 относно звездата 1 в тази координатна система. Звездите имат еднакви паралакси, т.е. те са на едно и също разстояние от нас. Следователно правата, която ги свързва, е перпендикулярна на зрителния лъч от земния наблюдател към системата. След като собствените движения на звездите са еднакви по величина и посока, то относителната скорост на звездата 2 спрямо звездата 1 няма компонента, насочена перпендикулярно на зрителния лъч. Остава тази относителна скорост да е насочена по направление на зрителния лъч и да е равна на разликата между лъчевите скорости на двете звезди, определена чрез наблюдения от Земята. Тази относителна скорост е $v'=30\ \mathrm{km/sec.}$

Сравнявайки паралакса на системата $p=0.016^{\prime\prime}$ и видимото ъглово отстояние между тях $\alpha=0.48^{\prime\prime}$, можем да намерим линейното разстояние между тях в астрономически единици:

Забелязваме, че линейната скорост на звездата 2 относно звездата 1 е приблизително равна на орбиталната скорост на Земята около Слънцето. Да приемем, че звездата 2 се движи по кръгова орбита около звездата 1. Понеже радиусът на тази орбита е 30 пъти по-голям от радиуса на земната орбита около Слънцето, то орбиталният период на звездата би бил $T=30$ земни години. Да определим сумата от масите на двете компоненти $M_1+M_2$ в слънчеви маси. За целта използваме третия закон на Кеплер във вида:

Но нека сега обърнем внимание на факта, че двете звезди имат еднакъв спектрален клас и са от Главната последователност. Това означава, че те имат приблизително еднакви маси. Но звезда от главната последователност със спектрален клас G2 трябва да е подобна на Слънцето. Съвсем невъзможно е такава звезда да има маса 15 пъти по-голяма от слънчевата маса. Така че гравитационното им привличане далеч не може да ги задържи в свързана система.

Дотук ние разглеждахме кръгово движение, при което скоростта на звездата 2 относно звездата 1 би била:

където $\gamma$ е гравитационната константа. Ние намерихме масите на звездите, при които това равенство се изпълнява. Сумата от тези маси може да се изрази по следния начин:

Ако трябва да бъдем точни, необходимо е да определим при какви маси на звездите скоростта $v'$ ще надвишава параболичната скорост, или скоростта на звездата 2, при която тя би напуснала системата. Тогава:

Тогавабихме получили по-малки маси за звездите:

Т.е., масата на всяка от звездите би трябвало да бъде около 10.6 слънчеви маси. Но все едно, такава маса е на порядък по-голяма от масата на звезда от Главната последователност и от спектрален клас G2.

Следователно двете звезди не могат да бъдат гравитационно свързана система, тъй като по време на наблюденията, направени от русенския астроном, те се движат с твърде висока скорост една спрямо друга и в бъдеще ще се разлетят в различни посоки.

За правилна теоретична идея за решение на задачата – 3 т.

За правилна математическа постановка – 4 т.

За правилни алгебрични преобразования – 4 т.

За правилен краен резултат от пресмятанията – 1 т.

За правилно тълкуване на резултата и заключение – 3 т.