Съдържание

НОА 2018, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 1. Опашки

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2018

XXI Национална олимпиада по астрономия 2018, II кръг, ученици от 11-12 клас · 24 февруари 2018 г. · 15 т.

Условие

На Фиг. 1 виждате съзвездието Голяма мечка. До всяка звезда от опашката на мечката е дадено разстоянието, на което тя се намира от нас в светлинни години. Дадени са и ъгловите разстояния между звездите.

Карта на съзвездието Голяма мечка с четирите звезди на опашката, надписани с разстоянията 104 ly, 78 ly, 83 ly и 81 ly, и ъгловите разстояния 6°40′, 4°21′ и 5°26′ между тях.

Фиг. 1. Разстояния в светлинни години до някои от звездите в съзвездието Голяма мечка и ъглови разстояния между тях – към 1 задача.

А) Определете действителната дължина на опашката на Голямата мечка в светлинни години.

Б) Според вас коя опашка е по-дълга в светлинни години – опашката на Голямата мечка или на Малката мечка? Обосновете вашия отговор.

Отговори

Решение

На схемата по-долу е показано пространственото разположение на земния наблюдател, означен с О, и две зведи, означени с А и В.

Пространствено разположение на земния наблюдател O и две звезди A и B; ъгъл α между посоките, разстояния rA, rB и търсеното rAB.

Известни са ни видимото ъглово разстояние между звездите $\alpha$ и разстоянията от нас до звездите, съответно $r_A$ , $r_B$ . Трябва да намерим разстоянието между двете звезди $r_{AB}$ . Използваме косинусовата теорема:

r_{AB} = \sqrt{r_A^{\,2} + r_B^{\,2} - 2 r_A r_B \cos\alpha}

Така можем да пресметнем разстоянието в светлинни години между всеки две последователни звезди от опашката на Голямата мечка. Номерираме звездите, както е показано на следващата схема.

Схема на съзвездието Голяма мечка (ковшът) с номерирани звезди 1, 2, 3 и 4 по опашката.

След това получаваме:

r_{12} \approx 28\ \text{ly}

r_{23} \approx 8\ \text{ly}

r_{34} \approx 8\ \text{ly}

Общата дължина на опашката ще бъде:

l = r_{12} + r_{23} + r_{34} = 44\ \text{ly}

Ъгловите разстояния между звездите от Малката мечка са по-малки от разстоянията между звездите от Голямата мечка. Но нека си припомним някои сведения за тези звезди. Звездите от опашката на Голямата мечка са сравнително близо до нас. Същевременно те са сред ярките звезди в небето, повечето от звездна величина около $2^m$ . В края на опашката на Малката мечка е Полярната звезда, също от звездна величина около $2^m$ . Тя обаче е променлива от тип цефеида. Както е известно, цефеидите са свръхгигантски звезди с огромна светимост. Следователно Полярната звезда е на значително по-голямо разстояние, отколкото са звездите от опашката на Голямата мечка. Останалите звезди от опашката на Малката мечка също трябва да са значително по-далечни от нас, тъй като са твърде слаби по блясък. Ето защо общата дължина на опашката на Малката мечка трябва да е по-голяма.

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

За правилен метод на определяне на разстоянието между звездите – 2 т.
За верни числени резултати – 6 т.
За определяне на общата дължина на опашката – 1 т.
За разсъждения относно сравнението с опашката на Малката мечка – 4 т.
За верен краен извод – 2 т.

Оригинал в Архива: NOA2_2018_11-12problems.pdf · официални решения: NOA2_2018_11-12solutions.pdf