Съдържание

НОА 2018, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 3. Метод на куповете

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2018

XXI Национална олимпиада по астрономия 2018, II кръг, ученици от 11-12 клас · 24 февруари 2018 г. · 15 т.

Условие

Цветният индекс на една звезда представлява разликата между нейните звездни величини, измерени в два различни цвята. Често по хоризонталната ос на диаграмата на Херцшпрунг-Ръсел вместо температурата, или спектралния клас на звездите, се дава цветен индекс, който е функция на температурата. На фигурата по-долу диаграмата видима звездна величина – цветен индекс за звездите от един звезден куп (долната линия) е насложена върху диаграма на Херцшпрунг-Ръсел, построена за звезди с известна абсолютната звездна величина и цветен индекс (горната линия). Това ни позволява да намерим разликата между видимите и абсолютните звездни величини и да получим разстоянието до звездите от купа.

Две криви в координати звездна величина спрямо цветен индекс (B−V)₀: горната е за абсолютна звездна величина Mv, долната – за видима звездна величина m; между тях е означена разликата (m − Mv). — Диаграма звездна величина – цветен индекс за звезден куп, насложена върху диаграмата на Херцшпрунг-Ръсел.

А) Напишете формулата, чрез която можем да пресметнем това разстояние.

Б) Част от светлината на звездите обаче, се поглъща в междузвездното пространство и видимият им блясък намалява. Това трябва да се отчита при определяне на разстоянията до куповете.

За един звезден куп първоначално е определено разстояние 10 килопарсека. Това е направено при предположение, че пълното поглъщане на светлината при нейното преминаване по целия път от звездния куп до Земята е 80%. По-късно оценката на пълното поглъщане е променена на 50%.

Пресметнете разстоянието до купа с новата оценка на пълното поглъщане.

Отговори

Решение

Записваме формулата, която дава връзката между видимата звездна величина на една звезда, абсолютната й звездна величина и разстоянието до нея:

m = M - 5 + 5\lg r

Изразяваме разстоянието:

r = 10^{0.2(m-M)+1}

Тази формула, обаче, е вярна само когато няма поглъщане на светлина в междузвездното пространство. Когато има поглъщане, видимата звездна величина е по-голяма поради това, че осветеността от звездата намалява. Ако $A$ е общото поглъщане по целия път на светлината от звездата до горната граница на атмосферата на Земята, формулата придобива следния вид:

m = M - 5 + 5\lg r + A

Записана за логаритъма на разстоянието, изглежда така:

\lg r = 0.2(m - M - A) + 1 \qquad (1)

Разстоянието може да се представи по следния начин:

r = 10^{0.2(m-M-A)+1}

Общото поглъщане е удобно да се представи като добавка към видимата звездна величина $m_o$ , неповлияна от поглъщането. Тогава, видимата звездна величина, повлияна от поглъщането означаваме с $m_1$ (в първия случай, при поглъщане 80%), и $m_2$ (във втория случай, при поглъщане 50%). Нека да изчислим добавката към звездната величина вследствие на поглъщането за двата случая:

A_1 = m_1 - m_0 = -2.5\lg\frac{E_1}{E_0} = -2.5\lg\frac{0.2E_0}{E_0} = -2.5\lg 0.2 \approx 1.75

A_2 = m_2 - m_0 = -2.5\lg\frac{E_2}{E_0} = -2.5\lg\frac{0.5E_0}{E_0} = -2.5\lg 0.5 \approx 0.75

Използваме формула (1) и за разликата на логаритмите на разстоянията получаваме:

\lg r_2 - \lg r_1 = 0.2(A_1 - A_2) = 0.2

\lg r_2 = \lg r_1 + 0.2 = 4.2

където $r_1 = 10000$ pc е първоначално определеното разстояние до купа, а $r_2$ е търсеното разстояние при новата оценка за общото поглъщане до купа. Антилогаритмуваме и за $r_2$ получаваме:

r_2 = 15848.9 \approx 15850\ \text{pc}

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

За правилна формула, свързваща абсолютната и видимата звездна величина и разстоянието – 3 т.
За правилно обяснение и математическо представяне на зависимостта на видимата звездна величина от поглъщането – 4 т.
За правилна теоретична постановка на решението – 7 т.
За верен числен отговор – 1 т.

Оригинал в Архива: NOA2_2018_11-12problems.pdf · официални решения: NOA2_2018_11-12solutions.pdf