НОА 2018, IV кръг, Старша възраст — Задача 1. Радиолокация на Меркурий

• 55 d

  Период на околоосно въртене $T_M \approx 55$ d; спектрите са получени при долно съединение. Авторите на научната статия получават $59 \pm 3$ дни.

Причините за промяната в честотата на отразените вълни са две. Първо, при орбиталното си движение Меркурий има лъчева скорост спрямо Земята и поради това се наблюдава ефект на Доплер. Второ, точките, които отразяват радиовълните, имат собствена скорост, тъй като участват в околоосното въртене на Меркурий. Ако тази собствена скорост има лъчева компонента, ефектът на Доплер отново влияе.

Предварително да запишем формулата за ефекта на Доплер във вид, съдържащ не дължини на вълните, а честоти. В $\frac{\lambda-\lambda_0}{\lambda_0} = \frac{v}{c}$ ($\lambda$ е измерена дължина, $\lambda_0$ е лабораторна дължина, $v$ е лъчева скорост) заместваме с измерената честота $\nu = c/\lambda$ и лабораторната честота $\nu_0 = c/\lambda_0$, получавайки $\frac{\nu_0-\nu}{\nu} = \frac{v}{c}$.

На чертежа е показан Меркурий с две точки по неговия екватор. Точка $A$ е първата, до която достигат радиовълните и съответно първата, която ги отразява. Скоростта на околоосно въртене при тази точка няма лъчева компонента, така че спектърът за $\Delta t = 0$ е отместен единствено поради орбиталната скорост на Меркурий. Забелязваме, че става дума за отместване от около половин херц при оригинална честота стотици мегахерци. Това означава, че лъчевата компонента на орбиталната скорост на планетата е изключително малка, близка до нула. Това се изпълнява при съединение. По-конкретно, това трябва да е долно съединение. В противен случай радиовълните от излъчването на Слънцето биха били сериозна пречка за наблюденията (отношението сигнал към шум е така или иначе малко).

Лъчите, отразени към Земята от точка $B$, трябва да изминат допълнително разстояние $2d = 2AB'$ спрямо това, изминато от отразените от $A$ лъчи. С други думи, $B$-лъчите ще се засекат време $\Delta t = \frac{2d}{c}$ след началния момент. Лъчевата скорост $v_r$ при $B$ ще се дава с $v_r = v_M \cos\beta$, където $v_M$ е скоростта на околоосно въртене на Меркурий, а $\beta$ е ъгълът между векторите $v_r$ и $v_M$. За него е вярно $\cos\beta = BB'/BO = \sqrt{2R_M d - d^2}/R_M$.

Нека $v_r$ води до отместване в честотата $\Delta\nu = \nu - \nu_0$. Тогава $\frac{\Delta\nu}{\nu} = \frac{2v_r}{c}$. Лъчевата скорост е удвоена, защото ефектът на Доплер действа два пъти – радиовълните придобиват различна честота, гледано от $B$, а тази честота се "отмества" поради движението на $B$, гледано от Земята. Така практически $v_r = \frac{\Delta\nu c}{2\nu_0}$ (защото $\nu_0 \approx \nu$). При всеки спектър има два пика, (много грубо казано) симетрични спрямо този от $\Delta t = 0$. Ако измерим разликата в честотите между тях, ще имаме приблизително $2\Delta\nu$. Тъй като за всеки спектър имаме и изминалото време $\Delta t$ в микросекунди, с описаните дотук формули може да намерим $v_M$. Резултатите са обобщени в таблица, като в междинните пресмятания е работено с повече значещи цифри, отколкото тук е показано:

Ако усредним резултатите за $v_M$ и използваме, че $v_M = \frac{2\pi R_M}{T_M}$, където $T_M$ е периодът на околоосно въртене на Меркурий, ще получим в резултат $\boxed{T_M \approx 55\,\mathrm{d}}$. Авторите на съответната научна статия получават за периода $59 \pm 3$ дни.

Критерии за оценяване (общо 18 т.):

За разбиране на същността на явлението (околоосно въртене на Меркурий + орбитално движение) – 2 т.

За съображения, водещи до правилно определяне на конфигурацията – 1 т.

За верен отговор “долно съединение” – 1 т.

За правилно извеждане на връзката между $\Delta t$, лъчевата скорост и търсената скорост на околоосно въртене – 4 т.

За верен израз, задаващ лъчевата скорост спрямо отместването в честотата – 4 т.

За измервания на отместването на честотата по спектрите – 2 т.

За стойности на скоростта на околоосно въртене при всеки спектър – 2 т.

За добра усреднена стойност на периода на околоосно въртене – 2 т.