НОА 2019, IV кръг, Младша възраст — Задача 1. Лунно затъмнение

А)

Виждаме, че Луната пресича еклиптиката в посока от юг на север, следователно тя преминава през своя възходящ възел на орбитата.

Б)

Измерваме диаметър на лунния диск по схемата, която ни е дадена и получаваме $18\,\mathrm{mm}$. Диаметърът на лунната сянка е $48\,\mathrm{mm}$. Понеже сечението на земната сянка, през което Луната преминава и самата Луна са на едно и също разстояние от нас, то отношението на техните размери по схемата е равно на отношението на техните линейни диаметри. От тук намираме, че диаметърът на сянката е: $D\approx4700\,\mathrm{km}$.

В)

Нека с $X$ да означим разстоянието между центъра на Земята и върха на земната сянка, а с $r$ разстоянието от Земята до Слънцето.

От съображения произтичащи от подобни триъгълници, можем да запишем:

Използвайки още една двойка подобни триъгълници записваме:

Видимият ъглов диаметър на Луната е:

Г)

Построяваме двете прави, които са допирателни към положенията на лунния диск, дадени на схемата. След това построяваме правата, която им е успоредна и преминава точно по средата между тях. Това е правата по която се е движил центърът на лунния диск. Продължаваме тази права и еклиптиката, докато се пресекат. Точката, в която се пресичат в именно възелът на лунната орбита.

Между моментите на първи и последен контакт с полусянката лунният център се премества на разстояние $L_1=100\,\mathrm{mm}$ по дадената схема. От дадените ни моменти пресмятаме, че това се случва за време $t_1=5\,\mathrm{h}\,11\,\mathrm{m}\,30\,\mathrm{s}$. По схемата измерваме, че възелът се намира на разстояние $L_2=71\,\mathrm{mm}$ западно от положението на първия контакт с полусянката. Понеже Луната се движи в посока от запад на изток по своята орбита, то преминаването през възела е било някакъв интервал от време $\Delta t$ преди първия контакт (P1). Този интервал намираме чрез равенството:

Преминаването през възела е станало в 22:55 UT на 15-ти юли.

Д)

По схемата измерваме, че разстоянието между центъра на сянката и възела е $L_3=122\,\mathrm{mm}$. Използвайки, че видимият ъглов диаметър на Луната е $33{,}6'$, а размерът на лунния диск на схемата е $18\,\mathrm{mm}$, то намираме, че ъгловото разстояние между възела центъра на сянката е $228'$. За да бъде затъмнението централно, то трябва тези двете точки да съвпаднат. Следователно, това е могло да се случи, ако сянката се е намирала на тези 228 дъгови минути западно по еклиптиката. Но сянката на Земята, както и Слънцето, се движи в посока от запад на изток, с период една година или $365{,}25\,\mathrm{d}$. От тук пресмятаме, че центърът на сянката е бил във възела приблизително $3\,\mathrm{d}\,20\,\mathrm{h}$ преди затъмнението, т.е. то е трябвало да се случи на 12-ти юли, за да бъде централно.

Е)

Продължителността на пълната фаза на затъмнението (от U2 до U3) е 62 минути. От дадената ни схема измерваме, че центърът на лунния диск, за този времеви интервал, се премества с $21\,\mathrm{mm}$. Ако затъмнението беше централно, то по време на пълната фаза центърът на Луната щеше да се премести на разстояние, което е разликата между диаметрите на сянката и на Луната. Тази разлика е $30\,\mathrm{mm}$. Следователно продължителността на такова централно затъмнение би била $89\,\mathrm{min}$.

Критерии за оценка (20 т)

• Правилен отговор за възела и аргументация – 2 т;
• Правилен метод за намиране на диаметъра сянката и верен числен отговор – 3 т;
• За правилна математическа постановка за намиране на разстоянието Земя–Луна – 3 т;
• За правдоподобен резултат – 1 т;
• За правилен видим ъглов размер на Луната – 1 т.;
• За правилен метод по който се намира моментът в който Луната преминава през възела и правдоподобен числен резултат – 4 т;
• За правилен метод по който се намира моментът, в който центърът на сянката е съвпадал с възела и правдоподобен числен резултат – 4 т;
• За правилно намиране на продължителността на централното лунно затъмнение и правилен числен резултат – 2 т.

Бележка към източника

В сниманото официално решение са отпечатани $D\approx4700\,\mathrm{km}$, $r_{\text{З–Л}}\approx356\,000\,\mathrm{km}$ и датите „15-ти юли“ и „12-ти юли“. Те са запазени, въпреки несъответствията помежду им и с датата 21 януари в условието. Тези несъответствия са в оригинала.