Съдържание

НОА 2020, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 3. Полярни звезди

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2020

XXIII Национална олимпиада по астрономия 2020, областен кръг, възрастова група XI-XII клас · 16 февруари 2020 г. · 12 т.

Внимание: Бележка към темата

След задача 5 темата отпечатва блок „Справочни данни“, който важи за всички задачи: Маса на Слънцето – 1.989 × 10³⁰ kg; Маса на Юпитер – 1.9 × 10²⁷ kg; Маса на Сатурн – 0.57 × 10²⁷ kg; Радиус на орбитата на Юпитер – 0.779 × 10⁹ km; Радиус на орбитата на Сатурн – 1.434 × 10⁹ km; Астрономическа единица – 149.6 × 10⁶ km; Площ на елипса с голяма и малка полуоси p и q: S = πpq.

Условие

Звездата HD 21070 е по-близо до северния небесен полюс от Полярната звезда и би могла по-точно да ни служи като ориентир, но е твърде слаба. Нейната звездна величина е $9^m{.}04$ . Намира се на разстояние 203 парсека от нас.

А) Звездата HD 21070 е от Главната последователност на диаграмата на Херцшпрунг-Ръсел. За такива звезди е в сила следната зависимост между светимостта L, изразена в единици светимост на Слънцето и масата $M$ в слънчеви маси: $L = M^{3.5}$ . Оценете масата на HD 21070. Абсолютната звездна величина на Слънцето е $4^m{.}83$ .

Б) Да си представим екзопланета, намираща се около някакава звезда X. Жителите на тази планета с интерес изучават Вселената, както подобава на същества, които са наистина разумни. В небето на планетата нашето Слънце е Полярна звезда, а звездата HD 21070 лежи на небесния екватор. Това е валидно и за двете следващи подусловия.

Жителите на екзопланетата решават да изстрелят към Слънцето и към звездата HD 21070 два малки космически апарата с маса по 1 kg. Първоначално корабите за много кратко време се ускоряват и после се движат към своите цели с постоянни скорости, които са такива, че всеки от тях да достигне до целта си за 10 000 години. Каква обща енергия трябва да се изразходва, за да се ускорят двата апарата до тези необходими скорости?

В) Нека сега звездата X е разположена така, че за наблюдателите от екзопланетата Слънцето и звездата HD 21070 изглеждат еднакво ярки. В този случай каква би била деклинацията на звездата X за наблюдател от Земята?

Отговори

Решение

Решение:

Означаваме с m видимата звездна величина на звездата HD 21070, а с r разстоянието до нея. Определяме нейната абсолютна звездна величина:

M_* = m + 5 - 5\lg r

M_* \approx 2.50^m

Като използваме абсолютната звездна величина на Слънцето $M_{*o}$ , пресмятаме светимостта на звездата в единици слънчеви светимости $L_o$ :

L = 2.512^{M_{*o} - M_*}\!\cdot\! L_o

L \approx 8.55\,L_o

Дадена ни е връзката между светимостта и масата на звездата:

L = M^{3.5}

От нея намираме масата:

M = L^{\frac{1}{3.5}}

\text{M} \approx 1.85\ \text{слънчеви маси}

Правоъгълният триъгълник, образуван от звездата X, Слънцето и звездата HD 21070.

В небето на екзопланетата около звездата X нашето Слънце е Полярна звезда, а звездата HD 21070 лежи на небесния екватор. Следователно звездата X, Слънцето и звездата HD 21070 образуват правоъгълен триъгълник с прав ъгъл при звездата X. Да означим с $a$ и b разстоянията от звездата X съответно до Слънцето и до звездата HD 21070. Космическите кораби трябва да изминат тези две разстояния за едно и също време t. Следователно те трябва да се движат със скорости $v_a$ и $v_b$ , за които са в сила равенствата:

v_a = \frac{a}{t}

v_b = \frac{b}{t}

Общата кинетична енергия, която трябва да придобият корабите, ще бъде:

E_k = \frac{m v_a^{\,2}}{2} + \frac{m v_b^{\,2}}{2}

където m е масата на всеки от корабите. Оттук намираме:

E_k = \frac{m}{2t^2}\left(a^2 + b^2\right)

Ние не знаем какви са разстоянията a и b, но разстоянието r ни е дадено. От Питагоровата теорема обаче, имаме:

a^2 + b^2 = r^2

Следователно каквито и да са разстоянията a и b, общата кинетична енергия, която трабва да се придаде на двата кораба, ще намерим от равенството:

E_k = \frac{m}{2t^2}r^2

E_k \approx 197\times10^{12}\ \text{J}\quad\text{(джаула)}

За да имат еднакъв видим блясък Слънцето и звездата HD 21070 за наблюдател от екзопланетата около звездата X, трябва да е изпълнено равенството:

\frac{L_o}{a^2} = \frac{L}{b^2}

Оттук намираме:

\frac{b}{a} = \sqrt{\frac{L}{L_o}}

Както се вижда от горната схема:

\frac{b}{a} = \operatorname{tg}\psi

където $\psi$ е ъгълът при Слънцето в правоъгълния триъгълник. Така получаваме:

\psi = \operatorname{arctg}\sqrt{\frac{L}{L_o}}

\psi \approx 71^\circ

Разстоянието между Слънцето и Земята е нищожно в сравнение с междузвездните разстояния, на които се равняват страните на този триъгълник, така че можем да считаме, че положението на Земята практически съвпада с това на Слънцето. Известно ни е, че звездата HD 21070 е много близо до северния небесен полюс за земния наблюдател. Оттук заключаваме, че ъгълът $\psi$ е равен на полярното отстояние на звездата X. Следователно деклинацията на звездата X в нашата екваториална система небесни координати ще бъде:

\delta = 90^\circ - \psi = 19^\circ

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

За правилен начин за намиране на масата на звездата HD 21070 – 3 т.

За правилен числен отговор – 1 т.

За правилен начин за определяне на общата енергия – 3 т.

За верен числен отговор – 1 т.

За правилен начин за намиране на деклинацията на звездата X – 3 т.

За верен числен отговор – 1 т.

Забележка: Във второто подусловие Б) ученикът може да е пресметнал енергията не за общия случай на произволно съотношение на разстоянията от звездата X до другите две звезди, а за някакъв частен случай, например за правоъгълен триъгълник с ъгли по 45 °, или пък за триъгълника, който се получава в ситуацията, описана в подусловие В). В такъв случай на участника следва да се даде най-много 1 точка за цялото подусловие Б).

Оригинал в Архива: NOA2_2020_11-12problems.pdf · официални решения: NOA2_2020_11-12solutions.pdf