Съдържание

НОА 2020, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 3. Системата FU Orionis

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2020

XXIII Национална олимпиада по астрономия 2020, национален кръг, възрастова група XI-XII клас · 27 юни 2020 г. · 15 т.

Условие

Звездата FU Ori е прототип на екстремен клас променливи звезди, които още не са се установили върху Главната последователност на диаграмата на Херцшпрунг-Ръсел, т.е. те са в самото начало на живота си. През 1937 година блясъкът на FU Ori се повишава рязко с цели 7 звездни величини и оттогава остава сравнително стабилен. Блясъкът отслабва много бавно и в наши дни звездната величина на обекта все още е $9.6^\mathrm{m}$ . Най-вероятното обяснение е, че около младата звезда има акреционен диск, в който рязко са се засилили притокът на материя от околното пространство и преносът ѝ навътре по диска. Триенето загрява диска и той започва да свети много по-силно от самата звезда.

Справочни данни:

Абсолютна звездна величина на Слънцето $= 4.75^\mathrm{m}$
Маса на Слънцето $1.99 \times 10^{30}$ kg
Радиус на Слънцето 696 000 km
Гравитационна константа $6.67 \times 10^{-11}$ $\mathrm{m^3/kg.s^2}$

А) Колко пъти по-висока е светимостта на FU Ori от тази на Слънцето? Разстоянието до FU Ori е 416 парсека, а праховото поглъщане е оценено на 1.8 звездни величини.

Б) Според последните модели масата на централната звезда е 0.6 слънчеви маси, а вътрешният край на диска е с радиус 3.5 слънчеви радиуса. Оценете приблизително темпа на пренос на маса по диска към вътрешния край! Дайте отговора си в слънчеви маси на година.

Отговори

Решение

Решение:

А) Нека $m$ и $M$ да са видимата и абсолютната звездна величина на FU Orionis, а $A$ да бъде увеличението на видимата звездна величина поради междузвездното поглъщане на светлината. Ако не съществуваше междузвездно поглъщане, видимата звездна величина на този космически обект щеше да бъде:

m' = m - A

Означаваме с $r$ разстоянието до FU Ori. Модулът на разстоянието е:

(m' - M) = 5\lg(r[pc]) - 5 = 8.10^\mathrm{m}

Оттук намираме абсолютната звездна величина:

M = m - A - 8.10^\mathrm{m} = -0.30^\mathrm{m}

Абсолютната звездна величина на Слънцето е $M_{sol} = 4.75^\mathrm{m}$ , а неговата светимост ще означим с $L_{sol}$ . Ако пренебрегнем болометричните корекции за FU Ori и Слънцето, можем да намерим светимостта $L$ на FU Ori в единици слънчева светимост по закона на Погсън:

\frac{L}{L_{sol}} = 2.512^{(M_{sol} - M)} = 104

Светимостта на FU Ori е 104 пъти по-висока от тази на Слънцето.

Б) При преноса на материята навътре по диска част от нейната гравитационна потенциална енергия се превръща в кинетична и в топлинна енергия. Нека разгледаме най-простия модел, в който материя с маса $\Delta \widetilde{M}$ пада от много голямо разстояние (от безкрайност, където нейната кинетична енергия и потенциална енегрия са съответно $E_K = 0$ , $E_P = 0$ ) до разстояние $r$ от звездата FU Ori. Първоначалната пълна механична енергия на количеството материя ще бъде:

E_0 = 0

По пътя си в процеса на триене това вещество отделя енергия $L\Delta t$ в топлинно излъчване за време $\Delta t$ . На разстояние $r$ разглежданото количество материя навлиза в кръгова орбита около звездата със скорост $v$ . Пълната механична енергия на материята с маса $\Delta \widetilde{M}$ на тази кръгова орбита е:

E = E_K + E_P = \frac{\Delta \widetilde{M} v^2}{2} - \frac{G \widetilde{M} \Delta \widetilde{M}}{r} = -\frac{G \widetilde{M} \Delta \widetilde{M}}{2r}

където $G$ е гравитационната константа. Тук $\widetilde{M} = 0.6\, \widetilde{M}_{sol}$ (слънчеви маси) е масата на централната млада звезда. Разликата между началната и крайната пълна механична енергия по време на падането на материята се е превърнала в енергия на топлинното излъчване:

E_0 - E = L\Delta t

Следователно:

\frac{G \widetilde{M} \Delta \widetilde{M}}{2r} = L\Delta t

\frac{\Delta \widetilde{M}}{\Delta t} = \frac{2rL}{G \widetilde{M}}

Ако приемем, че цялата материя пада до вътрешния радиус на диска $r = 3.5 R_{sol}$ (слънчеви радиуси), при правилно превръщане на мерните единици получаваме темп на пренос на маса:

\Delta \widetilde{M}/\Delta t = 3.8 \times 10^{-5}\ \widetilde{M}_{sol}\ \text{за година}

Този резултат отлично се съгласува с цитираната в научната литература стойност към 2020 г. (https://arxiv.org/abs/1911.11282).

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

За правилен теоретичен начин за определяне на светимостта на обекта – 4 т.

За правилно отчитане на междузвездното поглъщане – 3 т.

За верен числен резултат – 1 т.

За правилен подход при оценяването на потока вещество към центъра на диска, основан на закона за запазване на енергията (идейно описание на модела на ситуацията) – 2 т.

За получаване на алгебричен израз за разликата между началната и крайната енергия на падащото количество вещество – 2 т.

За пресмятане на темпа на пренос на вещество към центъра на диска – 2 т.

За верен числен резултат – 1 т.

Оригинал в Архива: NOA3_2020_11-12problems.pdf · официални решения: NOA3_2020_11-12solutions.pdf