Съдържание

НОА 2020, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 1. Астрометрия на двойна звезда

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2020

XXIII Национална олимпиада по астрономия 2020, национален кръг, възрастова група XI-XII клас · 27 юни 2020 г. · 15 т.

Условие

Хипотетична двойна звезда има компоненти A и B, които се движат около общия си център на масите по кръгови орбити и винаги са на еднакво ъглово разстояние една от друга по небето. Компонентата A е по-масивната от двете.

А) Определено е било положението на двете компоненти на звездното небе за януари 2000 г. През януари 2015 г. двете звезди са си разменили местата относно фона на далечните звезди – звездата А се наблюдава точно на мястото на звездата В от 2000 г., а звездата В е точно в положението на звездата А от 2000 г. През януари 2075 г. компонентата B отново ще бъде точно в първата си позиция от януари 2000 г. Какво е отношението на масите на звездите $M_B/M_A$ ?

Б) Ъгловото разстояние между двете компоненти винаги е равно на 0.25”, а разстоянието от Земята до двойната система е 102 парсека. Определете масите на двете звезди $M_A$ и $M_B$ .

Отговори

Решение

Решение:

А) Компонентите A и B са винаги на еднакво ъглово разстояние, следователно орбитите им лежат в равнина, перпендикулярна на зрителния лъч от земния наблюдател. Всички наблюдения са през януари и Земята е в едно и също положение по орбитата си, така че паралактичното отместване на системата не играе роля при разглежданите ситуации.

През 2015 г. двете компоненти са си разменили местата спрямо положенията, в които са били в 2000 г. Оттук следва, че интервалът от 15 години е кратен на цяло число орбитални периоди на системата плюс още половин период. Между 2015 г. и 2075 г. има 60 години и очевидно това е интервал, кратен на цяло число орбитални периоди на двойната система. Всичко това означава, че ако двете звезди бяха с равни маси и следователно, равноотдалечени от общия си център на масите, то през 2075 г. звездата В трябваше да се наблюдава на фона на далечните звезди точно в същото положение, в което е била в 2015 г. Случаят не е такъв и от това следва първо, че звездите не са с равни маси, и второ, че трябва да отчетем собственото движение на системата. При това тангенциалната скорост на двойната система спрямо Слънцето $v_T$ е насочена точно по линията AB от 2000 г., за да се компенсират перфектно промените в положенията на звездите A и B през 2015 г.

Три двойки концентрични окръжности с означени положения на звездите A и B през 2000, 2015 и 2075 г. — Положенията на компонентите A и B през 2000, 2015 и 2075 г. при собствено движение на системата със скорост $v_T$

Да означим с $r_A$ и $r_B$ разстоянията на компонентите A и В до центъра на масите. От чертежа се вижда, че от 2000 г. за време $t_{12} = 15$ години системата при собственото си движение на фона на далечните звезди изминава път $r_B - r_A$ , а за време $t_{23} = 60$ години след това – път $r_B + r_A$ .

Следователно:

r_B - r_A = v_T t_{12}

r_B + r_A = v_T t_{23}

Делим тези равенства почленно:

\frac{r_B - r_A}{r_B + r_A} = \frac{t_{12}}{t_{23}} = \frac{1}{4}

\frac{1 - r_A/r_B}{1 + r_A/r_B} = \frac{1}{4}

За масите и разстоянията до центъра на масите е в сила съотношението:

M_A r_A = M_B r_B

Отношението на масите ще бъде:

q = M_B/M_A = r_A/r_B

Оттук получаваме:

(1 - q)/(1 + q) = 1/4

q = 0.6

Б) От съображенията в подусловие A) излиза, че $t_{12} = kP/2$ , където $k = 1, 3, 5\ldots$ е нечетно положително число. Можем да запишем III Закон на Кеплер:

\frac{(r_A + r_B)^3}{P^2} = \frac{G(M_A + M_B)}{4\pi^2}

където $G$ е гравитационната константа.

Разстоянието до звездата е $d = 102$ pc, а радиусът на относителната орбита се вижда под ъгъл $\delta = 0.25''$ . Произведението $d.\delta$ по принцип се равнява на разстоянието между компонентите $r_B + r_A$ Ако разстоянието $d$ е изразено в парсеци, а ъгловото разстояние $\delta$ е в дъгови секунди, то разстоянието между компонентите ще се получи в астрономически единици. Тогава ако в III закон на Кеплер заместим $(r_A + r_B) = d\delta = 25.5$ AU и $P = 2t_{12}/k$ , като периодът е в земни години, то формулата може да придобие вида:

\frac{(d\delta)^3}{P^2} = M_A + M_B

където масите са изразени в слънчеви маси. Така получаваме:

M_A + M_B = \frac{k^2 (d\delta)^3}{4 t_{12}^{\,2}}

За $k = 1$ масата на системата е $(M_A + M_B) = 18.3$ M слънчеви маси.

За $k = 3$ масата на системата е $(M_A + M_B) = 165$ M слънчеви маси.

За $k = 5$ масата на системата е $(M_A + M_B) = 458$ M слънчеви маси, което вече е прекалено много, защото звездите с маси над $\sim150$ слънчеви маси не са стабилни.

Двата възможни отговора са:

$M_A = 11.4$ и $M_B = 6.9$ слънчеви маси
$M_A = 103$ и $M_B = 62$ слънчеви маси

Системата е хипотетична – няма звезда със 100 слънчеви маси само на 100 pc от нас.

Критерии за оценяване (общо 15 т.)

За правилни съображения относно посоката на собствено движение на системата и обяснение на наблюдаваните положения на звездите в трите момента от време – 3 т.

За правилен математически метод и числено пресмятане на отношението на масите на двете компоненти – 4 т.

За правилен алгебричен начин за определяне на сумата от масите на звездите – 2 т.

За разглеждане на различните математически допустими случаи и числено пресмятане на масите на компонентите – 4 т.

За избиране на случаите, които са допустими от астрофизическа гледна точка – 2 т.

Оригинал в Архива: NOA3_2020_11-12problems.pdf · официални решения: NOA3_2020_11-12solutions.pdf