Съдържание

НОА 2020, IV кръг, Младша възраст — Задача 1. Наблюдения от две планети

Оригинал на условието (Word)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2020

ХХІІІ НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ, IV кръг, 1 септември 2020 г., гр. Варна, теоретичен тур, Младша възраст · 1 септември 2020 г.

Условие

Една нощ младите астрономи Емона Илиева и Георги Стратиев набюдават от покрива на варненската обсерватория звездата Алдебаран от съзвездието Бик. Емона отваря вратата на един от куполите за телескопи и открива … портал към космоса! След кратко колебание тя прекрачва в тайнствената неизвестност. Преминавайки през портала, Емона се смалява 4 пъти и се озовава на непозната планета в системата на звездата Сабик от съзвездието Змиеносец. За да се ориентира по небето, тя се опитва да намери звездата Алдебаран.

Видимата от Земята звездна величина на Алдебаран е $m = 0.75^{\mathrm{m}}$ . Паралаксите на Сабик и Алдебаран са съответно $\pi_1 = 36.9\ \mathrm{mas}$ и $\pi_2 = 50.0\ \mathrm{mas}$ .

А) Оценете видимото ъгловото отстояние между Сабик и Алдебаран за наблюдател от Земята.

Б) Каква ще е видимата звездна величина на Алдебаран за наблюдател от планетата около звездата Сабик? Ще може ли Емона да види Алдебаран с просто око?

В) Без да усети отсъствието на Емона, Георги е насочил към Алдебаран телескоп с диаметър на обектива $D_A = 100\ \mathrm{mm}$ и увеличение $M_A = 20$ пъти. Колко пъти по-ярък ще бъде Алдебаран при наблюдение с този телескоп, отколкото при наблюдение с просто око? Намерете същото съотношение за телескоп с диаметър на обектива $D_B = 300\ \mathrm{mm}$ увеличение $M_B = 30$ пъти.

Справочни данни:

Диаметър на зеницата на окото при адаптация към нощно зрение – $d_E = 6\ \mathrm{mm}$

Екваториални координати на Сабик – $\alpha_1 = 17^{\mathrm{h}}10^{\mathrm{m}}$ , $\delta_1 = -15°43'$

Екваториални координати на Алдебаран – $\alpha_2 = 4^{\mathrm{h}}36^{\mathrm{m}}$ , $\delta_2 = +16°31'$

Решение

а)

Да вземем точката $A$ , противоположна на Сабик по небето. Нейните координати са $\alpha_{1A} = 5^{h}10^{m}$ , $\delta_{1A} = + 15{^\circ}43'$ . Ще намерим отстоянието й $\eta'$ от Алдебаран, при което отстоянието между Сабик и Алдебаран ще бъде $\eta = 180{^\circ} - \eta'$ . Координатите на Сабик и $A$ се различават много по-силно в ректасцензия, отколкото в деклинация, тоест за оценката може да не отчитаме различните деклинации. Разликата в ректасцензиите е $\alpha_{1A} - \alpha_{2}$ . За да я превърнем в съответната ъглова мярка, трябва да внесем корекция за ненулевата деклинация във вид на умножение по $\cos\delta$ . Тази величина в случая надвишава $0.96$ и при оценката си може да я пренебрегнем. Затова може да запишем

\eta \approx 180{^\circ} + \alpha_{2} - \alpha_{1A},

\eta \approx 360{^\circ} + \alpha_{2} - \alpha_{1} = \mathbf{171.5{^\circ}.}

б)

Разстоянията до Сабик и Алдебаран намираме по дадените паралакси:

r_{1,2} = \frac{1}{\pi_{1,2}} = 27\ pc,\ 20\ pc.

Както показахме, от Земята двете звезди са в практически противоположни направления. С достатъчна за целите ни точност може да приемем, че разстоянието от Алдебаран до Сабик в пространството е

r \approx r_{1} + r_{2} = 47\ pc.

Звездната величина $m$ на Алдебаран от Сабик намираме с формулата на Погсън:

m - m_{2} = - 2.5\lg\left( \frac{E}{E_{2}} \right) = - 2.5\lg\left( \frac{r_{2}^{2}}{r^{2}} \right),

m = m_{2} - 5\lg\left( \frac{r_{2}}{r_{1} + r_{2}} \right) = m_{2} + 5\lg\left( 1 + \frac{r_{1}}{r_{2}} \right) = m_{2} + 5\lg\left( 1 + \frac{\pi_{2}}{\pi_{1}} \right) = \mathbf{2.6}^{\mathbf{m}}

Това не гарантира, че Алдебаран ще се вижда с просто око. Тъй като наблюдателят се смалява, намалява и диаметърът на зеницата му, при което граничната звездна величина се променя. Минималният регистрируем от ретината поток остава един и същ, тъй като чувствителността на ретината не се определя от размерите й. Звездите, които сега са на границата за видимост, трябва да създават толкова пъти по-голяма осветеност (спрямо предишните най-слаби видими звезди), колкото пъти по-малка е площта на промените зеници:

\frac{E_{\text{lim}}'}{E_{\text{lim}}} = N^{2}.

За новата гранична звездна величина $m_{\text{lim}}'$ спрямо старата $m_{\text{lim}}$ ( $\approx 6^{m}$ ) това означава

m_{\text{lim}}' - m_{\text{lim}} = - 5\lg N,

m_{\text{lim}}' = m_{\text{lim}} - 5\lg N \approx {3.0}^{m}.

Тъй като $m < m_{\text{lim}}'$ , Алдебаран ще се вижда, макар и трудно. Оценката ни за $m$ подценява видимия блясък на Алдебаран, тъй като оценката ни за $r$ надценява реалното разстояние между звездите.

в)

За първия телескоп потокът от Алдебаран става $\left( D_{A}/d_{E} \right)^{2}$ пъти по-голям, отколкото при наблюдение с просто око. Съответно, Алдебаран изглежда

k_{1} = \left( D_{A}/d_{E} \right)^{2} \approx \mathbf{280}

пъти по-ярък.

При втория телескоп не всичката светлина, която се фокусира, попада в зеницата на наблюдателя. С други думи, т.нар. изходяща зеница (площта, през която лъчите излизат от телескопа успоредни) надвишава по диаметър зеницата на наблюдателя. За диаметъра $d_{P}$ на изходящата зеница имаме от подобните триъгълници

\frac{d_{P}}{f} = \frac{D_{B}}{F};\ \ \ d_{P} = \frac{D_{B}}{F/f} = \frac{D_{B}}{M_{B}} = 10\ mm > d_{E},

където $F$ и $f$ са фокусните разстояния на обектива и използвания окуляр. Частта от фокусирана светлина, която попада в зеницата, тогава е $\left( \frac{d_{E}}{d_{P}} \right)^{2}$ .

Лъчи в телескопа, обектив, окуляр и изходяща зеница.

Нека осветеността от наблюдавания обект е $E$ . Потокът при наблюдения с просто око се задава чрез $E\frac{\pi d_{E}^{2}}{4}$ , а потокът при наблюдения с телескоп се задава чрез $\left( \frac{d_{E}}{d_{P}} \right)^{2} \cdot E\frac{\pi D_{B}^{2}}{4}$ . Отношението им намираме като

k_{2} = \left( \frac{d_{E}}{d_{P}} \right)^{2}\frac{D_{B}^{2}}{d_{E}^{2}} = \left( \frac{D_{B}}{d_{P}} \right)^{2} = M_{B}^{2} = \mathbf{900}.

Алдебаран става 900 пъти по-ярък при наблюдения с втория телескоп. Може да се провери, че за първия телескоп изходящата зеница е изцяло в тази на наблюдателя.

Критерии за оценяване (общо 21т.):

а) -- За правилна идея за намиране на ъгловото отстояние -- 2т.

-- За правилен коментар относно ректасцензиите и деклинациите на звездите -- 1т.

-- За краен числен резултат (допустимо отклонение 0.5 ${^\circ}$ от 171.80 ${^\circ}$ ) -- 2т.

По-детайлни оценки получават пълния брой точки (и не повече) при правилно изпълнение.

б) -- За изразяване на разстоянията от Земята до звездите -- 2т.

-- За изразяване на разстоянието между звездите -- 2т.

-- За намиране на звездната величина на Алдебаран от Сабик -- 2т.

-- За намиране на граничната звездна величина -- 3т.

-- За сравнение и отговор -- 1т.

в) -- За изразяване и пресмятане на отношението на яркостите при първия телескоп -- 2т.

-- За проверка, че увеличението при втория телескоп надвишава равнозеничното -- 1т.

-- За изразяване и пресмятане на отношението на яркостите при втория телескоп -- 2т.

-- За проверка на увеличението на първия телескоп -- 1т.

Оригинал в Архива: NOA4_2020_20-IV-teorML.docx · официални решения: reshenia_kurtenkov_2020_IV.docx · допълнителни данни: aT1_sol.docx · допълнителни данни: aT2_sol.docx