Съдържание

Условие А)Константи на Оорт Б)Данни за собственото движение В)Модели на въртене Г)Водородна линия Д)Решение

НОА 2020, IV кръг · практически тур, Старша възраст — Задача 1. Константи на Оорт и водородна линия

Оригинал на условието (изображение)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2020

XXIII Национална олимпиада по астрономия · IV кръг · практически тур · старша възраст · 2 септември 2020 г. · 20 т.

Внимание: Бележка към темата

Трите фотографии съдържат две отделни задачи. Задача 1 има пълно съответстващо решение под означение βP2. За задача 2 липсва отделният лист с таблицата и решение с исканите два начина; добавени са изрично означени данни и частично решение от едноименната задача за младша възраст в същия тур.

Условие

Движението на звездите в спиралните галактики като Млечния път може с малка грешка да се счита за централно симетрично. Това означава, че за всяко разстояние $R$ от галактичния център има фиксирани, характерни скорости $V(R)$ (линейна) и $\Omega(R)$ (ъглова), с които звездите се движат по кръгови орбити. При отделните звезди некръговите компоненти на скоростта (отклонението от $V(R)$ ) обикновено са много малки в сравнение с $V(R)$ .

Наблюдаваме звезда с галактични координати $(l,0)$ и разстояние от наблюдателя $d$ , при което ъгловата ѝ скорост е $\Omega$ . Слънцето е на разстояние $R_0$ от галактичния център, където ъгловата скорост на движение на звездите е $\Omega_0$ .

А)

Покажете, че тангенциалната компонента за наблюдаваната от Слънцето скорост на звездата се определя по формулата:

V_\tau=(\Omega-\Omega_0)R_0\cos l-\Omega d.

Положителната посока за тангенциалната скорост е по направлението на нарастване на галактичната дължина. Гледано от северния галактичен полюс, въртенето на Млечния път е по часовниковата стрелка.

Константи на Оорт

При близки до Слънцето звезди величината $(\Omega-\Omega_0)$ може да се представи чрез приблизителния израз:

\Omega-\Omega_0=(R-R_0)\left.\frac{\Delta\Omega}{\Delta R}\right|_{R_0},

където отношението $\left.\frac{\Delta\Omega}{\Delta R}\right|_{R_0}$ описва как се изменя функцията $\Omega(R)$ при промяна на $R$ около $R=R_0$ . Например ако се окаже, че при отдалечаване с $\Delta R=1\,\mathrm{pc}$ от галактичния център, местната ъглова скорост $\Omega(R)$ нараства с $10^{-16}\,\mathrm{rad/s}$ , то можем да запишем:

\left.\frac{\Delta\Omega}{\Delta R}\right|_{R_0}=\frac{10^{-16}\,\mathrm{rad/s}}{1\,\mathrm{pc}}=10^{-16}\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s\cdot pc}}.

Константите

A=-\frac12R_0\left.\frac{\Delta\Omega}{\Delta R}\right|_{R_0},\qquad B=-\frac12R_0\left.\frac{\Delta\Omega}{\Delta R}\right|_{R_0}-\Omega_0

са въведени от Ян Оорт през 1927 г. като параметри, даващи информация за въртенето на Млечния път в слънчевата околност. Те могат да се определят само по наблюдения на близки звезди, при което отпада проблемът с ограниченията от междузвездното поглъщане във видимия диапазон.

Б)

Намерете приближен израз за тангенциалната компонента на скоростта $V_\tau$ в зависимост само от $l,d,A,B$ при близки до Слънцето звезди ( $d\ll R_0$ ).

Данни за собственото движение

В таблицата са представени средните стойности за собственото движение на звезди в околностите на Слънцето при различни галактични дължини. Галактичните ширини на изучаваните звезди са малки, а собственото движение се измерва относно далечни ориентири, например квазари.

$l\,[\mathrm{deg}]$	$\mu_l\,[\mathrm{km\,s^{-1}\,kpc^{-1}}]$	$l\,[\mathrm{deg}]$	$\mu_l\,[\mathrm{km\,s^{-1}\,kpc^{-1}}]$	$l\,[\mathrm{deg}]$	$\mu_l\,[\mathrm{km\,s^{-1}\,kpc^{-1}}]$
20.0	-2.7	140.0	-13.5	260.0	-24.2
60.0	-20.2	180.0	1.6	300.0	-23.4
100.0	-28.7	220.0	-6.8	340.0	-6.2

В)

Постройте по данните подходяща линеаризирана графика и оценете константите на Оорт $A$ и $B$ в мерни единици $\mathrm{km\,s^{-1}\,kpc^{-1}}$ .

Модели на въртене

Доказва се, че

A=\frac12\left(\frac{V_0}{R_0}-\left.\frac{\Delta V}{\Delta R}\right|_{R_0}\right),\qquad B=-\frac12\left(\frac{V_0}{R_0}+\left.\frac{\Delta V}{\Delta R}\right|_{R_0}\right),

където отношението $\left.\frac{\Delta V}{\Delta R}\right|_{R_0}$ описва как се изменя функцията $V(R)$ при промяна на $R$ около $R=R_0$ .

Г)

За колко години прави Слънцето една пълна обиколка около центъра на Млечния път? Проверете кой от дадените три модела за въртенето на Млечния път в областта около $R_0$ отговаря най-точно на наблюденията:

Галактиката се върти с еднаква за всички $R$ ъглова скорост $\Omega$ (като твърдо тяло);
Галактиката се върти с еднаква за всички $R$ линейна скорост $V$ ;
Скоростта на въртене се изменя с разстоянието до галактичния център по закона $V\propto1/\sqrt R$ (това следва от предположението, че почти всичката маса в галактиката е концентрирана в централната област $R<R_0$ ). При този модел $\left.\frac{\Delta V}{\Delta R}\right|_{R_0}=-\frac12\frac{V_0}{R_0}$ .

Оказва се, че моделът, проличащ от изчислените стойности на константите на Оорт, добре описва въртенето на галактиката в целия интервал $R>1\,\mathrm{kpc}$ .

Водородна линия

Подобно на звездите, движението на неутралния водороден газ в диска на Млечния път става с характерната кръгова скорост $V(R)$ . Такива водородни (HI) облаци са твърде хладни, което не позволява изследване на стандартните спектрални серии на водорода. В спектъра на неутралния водород обаче се наблюдава т. нар. линия с дължина на вълната 21 cm, произходът на която е от различно естество. Млечният път е на практика прозрачен в радиодиапазона, тоест видът на тази водородна линия при спектрални наблюдения на фиксирана галактична дължина се определя от HI регионите по протежение на целия зрителен лъч.

Разполагате с профили на разширената 21 cm линия при наблюдения на различна галактична дължина в диска на Млечния път. По абсцисата в km/s е дадена лъчевата скорост, определена от червеното отместване, съответстващо на отклонението от лабораторната дължина на вълната. По ординатата е даден интензитетът на линията в произволни мерни единици.

Профили на 21 cm линия за няколко галактични дължини. Четирите оригинални профила са дадени и на третата фотография; тук е използван ясният екземпляр от файла с решението.

Д)

Използвайки подходящ модел, получете усреднена стойност за скоростта на движение на Слънцето в галактиката. Намерете разстоянието до галактичния център.

Решение

В оригиналния файл с решението задачата е означена βP2, а във фотографираното условие — Задача 1. Заглавието, данните, петте подточки и профилите съвпадат. Точките по подточки във файла с решението са съответно 2, 3, 6, 3 и 6.

а)

Оригинална геометрична схема на галактичното въртене и проекциите на скоростите.

На дадения чертеж въвеждаме ъгъла $\beta$ , при което тангенциалната скорост ще се задава с

V_\tau=V\cos\beta-V_0\cos l,

V_\tau=\Omega R\cos\beta-\Omega_0R_0\cos l.

Същевременно, в правоъгълния триъгълник с хипотенуза $R_0$ катетът при $l$ се изразява по два начина:

R_0\cos l=R\cos\beta+d.

Затова

V_\tau=\Omega(R_0\cos l-d)-\Omega_0R_0\cos l,

V_\tau=(\Omega-\Omega_0)R_0\cos l-\Omega d.

б)

Преобразуваме израза за тангенциалната скорост така:

V_\tau=(\Omega-\Omega_0)R_0\cos l-(\Omega_0+(\Omega-\Omega_0))d,

V_\tau=(\Omega-\Omega_0)(R_0\cos l-d)-\Omega_0d.

При близки звезди $d\ll R_0$ , тоест

V_\tau=(\Omega-\Omega_0)(R_0\cos l)-\Omega_0d,

или директно може да вземем $\Omega\approx\Omega_0$ . Сега използваме величината $\Omega-\Omega_0$ по дадения в условието начин:

V_\tau=R_0(R-R_0)\left.\frac{\Delta\Omega}{\Delta R}\right|_{R_0}\cos l-\Omega_0d.

Целим да елиминираме неизвестното $R$ . При близки звезди можем да използваме приближението $R\approx R_0-d\cos l$ , което следва естествено от геометрията на триъгълник при $d\ll R$ , а може и да се изведе от косинусовата теорема. Следва

V_\tau=-R_0d\left.\frac{\Delta\Omega}{\Delta R}\right|_{R_0}\cos^2l-\Omega_0d,

V_\tau=2Ad\cos^2l-(A-B)d.

Бележка 1 от оригинала: Друга възможна форма на зависимостта използва връзката $\cos^2l=(1+\cos2l)/2$ . Тогава намираме $V_\tau=Ad\cos(2l)+Bd$ .

в)

За собственото движение на далечните звезди имаме

\mu_l=\frac{V_\tau}{d}=2A\cos^2l+(B-A).

Това означава, че графичната зависимост на $\mu_l$ от $\cos^2l$ следва да е права линия с наклон $2A$ и свободен член $B-A$ . Начертаваме графика по съответните данни, усредняйки данните, където това е приложимо (с червено).

Официална линеаризирана графика на собственото движение срещу cos² l.

За наклона на графиката намираме $2A=28.4\,\mathrm{km\,s^{-1}\,kpc^{-1}}$ , а свободния член намираме по пресечната точка с оста $y$ : $B-A=-27.8\,\mathrm{km\,s^{-1}\,kpc^{-1}}$ . С това получаваме

A=14.2\,\mathrm{km\,s^{-1}\,kpc^{-1}},\qquad B=-13.6\,\mathrm{km\,s^{-1}\,kpc^{-1}}.

г)

По дадените изрази за $A$ и $B$ може да намерим за ъгловата скорост на Слънцето $\Omega_0=V_0/R_0$ , че

\Omega_0=A-B.

Така периодът за обиколка на Слънцето около галактичния център е

T=\frac{2\pi}{A-B}=220\times10^6\,\mathrm{yr}.

Може аналогично да намерим и

\left.\frac{\Delta V}{\Delta R}\right|_{R_0}=-(A+B)=0.6\,\mathrm{km\,s^{-1}\,kpc^{-1}}.

Още отсега е видимо, че за голямо разстояние като 1 kpc промяната в кръговата скорост е много малка. Нека проверим какво предвиждат за $\left.\frac{\Delta V}{\Delta R}\right|_{R_0}$ трите модела.

При въртене с еднаква ъглова скорост $\Omega$ , кръговата скорост на разстояние $R$ е $\Omega R$ , а при увеличаването на това разстояние с $\Delta R$ , кръговата скорост става $\Omega(R+\Delta R)$ . Промяната в кръговата скорост за малко преместване $\Delta R$ ще е $\Delta V=\Omega(R+\Delta R)-\Omega R=\Omega\Delta R$ . Следователно

\frac{\Delta V}{\Delta R}=\Omega\Rightarrow\left.\frac{\Delta V}{\Delta R}\right|_{R_0}=\Omega_0=A-B=27.8\,\mathrm{km\,s^{-1}\,kpc^{-1}}.

При въртене по зависимост $V\propto1/\sqrt R$ е дадено по условие

\left.\frac{\Delta V}{\Delta R}\right|_{R_0}=-\frac12\frac{V_0}{R_0}=-\frac12\Omega_0=\frac12(B-A)=-13.9\,\mathrm{km\,s^{-1}\,kpc^{-1}}.

При въртене с еднаква линейна скорост, няма промяна в стойността ѝ с промяна на разстоянието:

\left.\frac{\Delta V}{\Delta R}\right|_{R_0}=0.

Вторият модел отговаря на наблюденията най-добре.

Бележка 2 от оригинала: Това несъответствие с кинематичните наблюдателни резултати показва, че масата в галактиката не би следвало да е концентрирана към галактичния център. От друга страна, информацията ни за разпределението на масата в Млечния път от фотометрични наблюдения на звезди сочи именно към обратното! Това несъответствие може да се обясни с наличието на недостъпен за фотометрични наблюдения вид материя в периферията на галактиките. Това наричаме тъмна материя.

Бележка към източника: отпечатаният знак пред числото 0.6 е запазен; той не съответства на дадените по-горе стойности на $A$ и $B$ .

д)

В тази част на задачата приемаме, че въртенето на галактиката за $R>1\,\mathrm{kpc}$ става с постоянна скорост. Слънцето попада в този диапазон, така че скоростта под въпрос се явява $V_0$ . Лъчевата скорост за звезда с галактична дължина $l$ и разстояние до центъра $R$ се задава с (вж. чертежа)

V_r=V_0\sin\beta-V_0\sin l.

По правоъгълния триъгълник на чертежа откриваме $R\sin\beta=R_0\sin l$ , тоест

V_r=V_0\left(\frac{R_0}{R}-1\right)\sin l.

Когато наблюдаваме водородните облаци на дължина $l$ , ние виждаме съвкупност от обекти с различни лъчеви скорости. При всеки от облаците 21 cm линия има различно червено отместване в зависимост от $V_r$ и в резултат линията изглежда разширена. Десният край на разширената линия ще се поражда от облаците по зрителния лъч, които имат най-висока лъчева скорост. Това са тези облаци, за които $R$ е най-малко, а минималната стойност на $R$ по зрителния лъч е $R=R_0\sin l$ ; така

V_{r,\max}=V_0(1-\sin l).

За всеки от дадените спектри измерваме $V_{r,\max}$ и намираме съответния резултат за $V_0$ :

$l\,[\mathrm{deg}]$	30	40	50	60
$V_{r,\max}\,[\mathrm{km/s}]$	103	65	52	30
$V_0\,[\mathrm{km/s}]$	207	183	214	224

Като средна стойност получаваме $V_0=207\,\mathrm{km/s}$ . За разстоянието до галактичния център имаме

R_0=\frac{V_0}{\Omega_0}=7.4\,\mathrm{kpc}.

Бележка 3 от оригинала: При резултата ни има известно отклонение от определената по най-нови астрометрични данни (Eilers et al. 2019) стойност за кръговата скорост, $V_0=229\,\mathrm{km/s}$ . Това се дължи на ограниченията в точността на използвания от нас метод, на детайлите в разпределението на HI облаците в Млечния път и на некръговите компоненти в скоростта на водородния газ. При работата си не отчетохме и некръговата компонента в движението на самото Слънце.

Оригинал в Архива: 20-IV-praktST1.jpg · официални решения: bP1_sol.pdf · допълнителни данни: 20-IV-praktST2.jpg · допълнителни данни: 20-IV-praktST3.jpg · допълнителни данни: NOA4_2020_a20-IV-praktML.docx