НОА 2021, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 3. Ахернар

• А) Не. Днес звездата би кулминирала на едва $h = 1°34'$ над хоризонта на Александрия, но през II век заради прецесията деклинацията ѝ е била с над 2° по-отрицателна и звездата изобщо не е изгрявала.

• Б) 14030 K

  Ефективна температура при ефективен радиус $R = \sqrt{ab} = 9.12 R_{sol}$. В действителност температурата варира от около 10 000 K на екватора до около 20 000 K на полюсите.

• В) Ширината на линията е около 12 Å, а околоосното въртене дава само 2Δλ = 7.3 Å; останалото разширение се дължи на високата температура (топлинното движение на атомите).

  Пълната ширина се измерва от графиката; $\Delta\lambda/\lambda_0 = v_R/c$ при $\lambda_0 = 4388$ Å и $v_R = 250$ km/s.

А) При наблюдение от Александрия (φ = +31°12′) максималната височина на небесния екватор е 90° - φ = 58°48′. В горна кулминация обект с деклинация δ = –57°14′ ще бъде на 57°14′ под най-високата точка от екватора, т.е. височината на този обект над хоризонта ще бъде h = 58°48′ - 57°14′ = 1°34′, без отчитане на атмосферната рефракция.

Въпреки това, Птолемей не е можел да наблюдава Ахернар от Александрия, тъй като координатите на звездата през II век са били различни. Заради прецесията на земната ос северният небесен полюс извършва движение около северния еклиптичен полюс с период около 26 000 години. Посоката на това движение във всеки един момент е перпендикулярна на направлението към еклиптичния полюс и обратна на посоката, в която нараства ректасцензията, т.е. към точка с екваториално координати α = 0$^{h}$, δ = 0°. Съответно, южният небесен полюс се движи към точка с координати α = 12$^{h}$, δ = 0° и следователно се отдалечава от Ахернар.

За t = 1900 години южният небесен полюс е изминал 1900/26000 част от обиколката си около южния еклиптичен полюс. Неговата траектория представлява паралел с дължина 360°cos(90- ε). Изминатият ъгъл е приблизително:

Тъй като южният небесен полюс се отдалечава от Ахернар, деклинацията на звездата намалява по абсолютна стойност и лесно може да се оцени, че преди 1900 години нейната абсолютна стойност е била с над 2° по-голяма. Това означава, че звездата е била на по-голямо разстояние под небесния екватор в южната небесна полусфера и не е изгрявала за Александрия.

(5т.)

Б) Нека първо пресметнем ефективната температура T, тоест тази температура, която звездата трябва да има във всяка точка от повърхността си, за да /излъчва със същата обща светимост. Тъй като приемаме, че нашият зрителен лъч лежи в екваториалната равнина на Ахернар, то звездата се проектира за нас като елипса с голяма полуос a = 11.4R$_{sol}$ и малка полуос b = 7.3R$_{sol}$. Площта на елипса е $\pi$ab, така че можем да пресметнем ефективния радиус на звездата:

Модулът на разстоянието до Ахернар е:

Абсолютната визуална звездна величина трябва да бъде M$_{V}$ = 0.46$^{m}$ – 3.17$^{m}$ = – 2.71$^{m}$.

Прилагаме болометричната корекция BC, за да получим абсолютната болометрична звездна величина:

Сравняваме с абсолютната болометрична звездна величина на Слънцето и от закона на Погсън получаваме светимостта на звезда с радиус R като Ахернар в единици слънчева светимост:

Ефективната температура получаваме от закона на Стефан-Болцман:

Използвайки температурата на Слънцето T$_{sol}$ = 5770 K, получаваме T = 14 030 K.

В действителност, обаче, температурата се мени силно по повърхността на звездата. Заради сплеснатостта гравитационното ускорение е по-високо близо до полюсите, отколкото на екватора. Това означав, че близо до полюсите налягането на газа, което трябва да противодейства на гравитацията, също ще е по-високо, а с него и температурата. Температурата на екватора на Ахернар е около 10 000 K, а на полюсите – около 20 000 K.

(5т.)

В) Като използваме мащаба на графиката, определяме ширината на спектралната линия. Тя е около 12 А. Доплеровото отместване за скорост v$_{R}$ = 250 km/s можем да намерим от съотношението:

Тук лабораторната дължина на вълната за линията на хелия е λ$_{0}$ = 4388А. Разширението на линията, дължащо се на околоосното въртене на звездата, ще бъде 2Δλ = 7.3А. Следователно само въртенето на звездата не е достатъчно, за да се обясни цялото разширение на линията. Вторият фактор е високата температура на звездата – линията се разширява от бързото хаотично топлинно движение на атомите в нейната атмосфера.

(5т.)