НОА 2021, III кръг (национален), 7–8 клас — Задача 4. Галилеевите спътници

• А) $\delta_{max} = \frac{2R_{\text{йо}}}{r_{\text{йо}} - R_{\text{ю}}} \approx 36';\quad \delta_{\text{сл}} = \frac{2R_{\text{сл}}}{r_j} \approx 6.2'$

• Б) Не. Всички Галилееви спътници имат орбитални периоди, по-големи от периода на околоосно въртене на Юпитер, така че посоката на видимото им денонощно движение се определя от въртенето на планетата – всички изгряват от изток и залязват на запад.

• В) $V_E = \frac{2\pi R_{\text{ю}}}{P} \approx 12{,}6\ \mathrm{km/s};\quad V = \frac{2\pi r}{T}$

  В авторското решение е записано, че по-голяма линейна скорост от екватора на Юпитер имат „Ганимед и Калисто“, но пресметнатите там стойности и критериите за оценяване („за извод, че Йо и Европа се движат по-бързо – 1т.“) сочат Йо и Европа.

А) За да наблюдаваме пълно слънчево затъмнение от спътника Йо, той трябва да има видим ъглов размер по-голям от този на Слънцето.

Нека с $R_{\text{йо}}$ да означим радиуса на Йо, с $r_{\text{йо}}$ – радиуса на неговата орбита, а с $R_{\text{ю}}$ – радиуса на Юпитер.

Максималният видим ъглов размер на спътника, за наблюдател, който е на повърхността на планетата е:

Нека сега с $R_{\text{сл}}$ да означим радиуса на Слънцето, с $r_j$ – радиуса на юпитерианската орбита.

Видимият ъглов размер на Слънцето, за наблюдател на Юпитер е:

Виждаме, че видимият ъглов размер на Йо е значително по-голям, следователно пълно слънчево от него може да се наблюдава.

Б) От таблицата можем да видим, че всички Галилееви спътници имат орбитални периоди, които са по-големи от периода, за който Юпитер прави едно завъртане около оста си. Следователно, сред тях не би следвало да има такива, които да „изпреварват“ Юпитер и посоката на тяхното движение по небето се определя от това в каква посока той се върти около оста си. Затова можем да направим извода, че сред тях няма такива, които да изгряват от запад и залязват на изток.

В) Нека с P да означим периода за околоосно въртене на Юпитер.

Скоростта на точка от неговия екватор е:

Ако r е орбиталният радиус на някой от Галилеевите спътници, а T е съответният орбитален период, то орбиталната скорост на този спътник е:

Използвайки дадените ни стойности, пресмятаме следните скорости:

Йо – 17,34 km/s

Европа – 13,75 km/s

Ганимед – 10,88 km/s

Калисто – 8,20 km/s.

Оттук следва, че по-голяма линейна скорост от екватора на Юпитер имат спътниците Ганимед и Калисто. Около моментите н своята горна кулминация, техните скорости са насочени успоредно на скоростта, която точка от екватора има. Поради това, в този момент, за наблюдател, разположен на екватора ще изглежда, че Йо или Европа „изостават“ от него. Това означава, че тяхното видимо движение на фона на звездите ще бъде в посоката, в която те се движат по своите орбити. Именно тогава те „се движат на обратно“ върху съзвездията и са в ретроградно движение. Всъщност, това се наблюдава в продължение на някакъв интервал от време около преминаването на всеки от тези два спътника през неговата горна кулминация.

Критерии за оценяване:

А) 5т.

- за правилен израз за максималния видим ъглов размер на Йо и верен числен отговор – 2т.

- за намиране на правилен израз за видимия ъглов размер на Слънцето и верен числен отговор – 2т.

- за верен извод дали можем да видим пълно затъмнение от Йо – 1т.

Б) 3т.

- за правилни разсъждения при какви условия можем да видим изгрев на даден спътник от запад – 2т

- за верен извод дали това ще се наблюдава за някой от спътниците – 1т.

В) 7т.

- за правилен израз за скоростта на точка от екватора на Юпитер и вярна числена стойност – 1т.

- за правилен метод за намиране на орбиталните скорости на четирите спътника и верни числени стойности – 3т.

- за извод, че Йо и Европа се движат по-бързо – 1т.

- за правилни разсъждения относно това, че тези два спътника ще се движат ретроградно, около своите горни кулминации - 2т.