НОА 2021, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 3. Най-самотният космонавт

• А) 30 обиколки

  $N = \Delta t / T_0 = 30.063 \approx 30$ — съвсем малко повече от 30 обиколки.

• Б) 2765 s

  $\Delta\tau = \dfrac{\varphi_0}{360°}T = 46^{m}04^{s}\!.9 = 2764.9\ \text{s} \approx 2765$ s, при $\varphi_0 \approx 140°$ и синодичен период спрямо линията Земя–Луна $T = 7111.2$ s.

Решение:

От представената в условието схема става ясно, че космическият кораб навлиза в орбита около Луната, по която той се движи в посока противоположна на посоката на движение на Луната по орбитата ѝ и на въртенето около оста ѝ.

За да намерим броя на обиколките ще пресметнем пълното време $\Delta t$ на пребиваване на кораба върху орбитата около Луната и ще го разделим на времето $T_0$ за което корабът прави една обиколка по орбитата. Нека момента на навлизане в орбита означим с $t_1$, а момента на напускане на орбитата – с $t_2$. Тогава продължителността на пребиваване върху орбитата е $\Delta t = t_2 - t_1 = 2^{d}\,11^{h}\,33^{m}\,52^{s} = 214432$ s (секунди).

Нека приемем, че средната скорост на движение по орбитата е кръговата скорост на средната височина над повърхността на планетата:

В тази формула $\gamma$ е гравитационната константа, $M_L$ е масата на Луната, $r_0 = R_L + h = 1848650$ m е средният радиус на орбитата на кораба около Луната, $h$ е средната височина на кораба над лунната повърхност, а $R_L$ е радиусът на Луната. Дължината на орбитата $l_0$ може да изразим чрез радиуса на орбитата и чрез скоростта и времето $T_0$, необходимо за една обиколка: $l_0 = 2\pi r_0 = T_0 v_0$. Тогава:

Може да пресметнем $T_0$:

За броя на обиколките $N$ намираме:

Получаваме, че корабът е направил съвсем малко повече от 30 обиколки. Броят на обиколките може да бъде изразен и чрез първоначално зададените в условието величини:

Понеже не знаем къде са били разположени комуникационните антени по Земята и с кои от тях е било възможно, поради въртенето на Земята, да се поддържа връзка с командния модул, то ще приемем, че зоната на радиосянката е била с размери равни на диаметъра на Луната. Корабът се е движел по орбита на височина $h$. На схемата е показана Луната, част от орбитата на Луната и посоката в която тя се движи, орбитата на кораба, посоката в която корабът се движи по орбитата си и невидимата в началния момент зона от орбитата, ограничена от двете пунктирни линии, които отсичат от орбитата участък с централен ъгъл $\varphi_0$. За да определим на колко е равен този ъгъл, трябва да намерим и допълнителния ъгъл $\alpha$, който се среща в двата еднакви правоъгълни триъгълника OAC и OBH.

Ъгъл $\alpha$ може да намерим от всеки от двата правоъгълни триъгълника, понеже знаем големините на един от катетите и на хипотенузата, които са равни, съответно, на $R_L$ и $(R_L + h)$.

Ако разделим този ъгъл на $360°$, ще определим каква част от орбитата си е изминал корабът, докато е преминавал невидимия участък: $\varphi_0 / 360° = 0.3888$. Логично е да очакваме, че ако умножим това число по периода на движение на кораба по орбитата, ще получим интервала от време през който корабът е бил в радиосянка за Земята. Това би било вярно ако Луната не се движише по орбитата си. Тя, обаче, се движи и прави една обиколка около Земята за сидеричния си период $T_{LSid} = 27^{d}\!.32$ (денонощия). Понеже дадените орбитни параметри и за кораба, и за Луната са сидерични, т.е. относно звездите, то в система свързана с тях направлението от Земята към Луната също ще прави една обиколка за период от време равен на $27^{d}\!.32$. Докато корабът се движи в радиосянката, зоната на радиосянката ще се върти, относно система свързана със звездите, в посока противоположна на движението на кораба, от положение 1 към положение 2, означени на фигурата. Обърнете внимание, че движенията на кораба около Луната и на Луната около Земята по никакъв начин не са свързани с околоосното въртене на Луната, вследствие на което тя остава обърната към Земята приблизително с едната си страна. Следователно, относно звездите корабът ще опише по-малка дъга по орбитата си, отговаряща на ъгъл $\varphi$. Ние, обаче, няма да търсим този ъгъл, а понеже познаваме сидеричните периоди и на кораба, и на орбиталното движение на Луната, ще сменим отправната система и ще преминем към координати свързани с линията Земя-Луна. В тази система корабът в радиосянката отново ще опише дъга съответстваща на централен ъгъл $\varphi_0$, но ще се движи вече с различен период относно тази линия, т.е. с различна ъглова скорост. Може да използваме формулата за синодичен и сидеричен период, но трябва да не забравяме, че пресечната точка на линията Земя-Луна с орбитата на кораба се върти относно движението на кораба в противоположна посока. Следователно ще използваме следната формула за синодично движение:

където $T$ е синодичният период на кораба относно линията Земя-Луна, $T_0$ е сидеричният период на кораба по орбитата му, а $T_{LSid}$ е сидеричният период на Луната по нейната орбита. Знакът плюс във формулата отразява факта, че ъгловите скорости, когато имаме противоположно движение на обекта и „наблюдателя“, се събират.

Пресмятаме и получаваме, че $T = 1^{h}\!.97533 = 1^{h}58^{m}31^{s}\!.2 = 7111.2$ s.

Тогава за времето $\Delta\tau$, през което има радиосянка, получаваме:

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

За отбелязване на факта, че корабът се движи в обратна посока около Луната – 2 т.

За правилна математическа постановка на задачата за броя на обиколките около Луната – 3 т.

За верен числен резултат относно броя на обиколките около Луната – 1 т.

За правилни разсъждения относно невидимата част от орбитата – 2 т.

За правилни разсъждения и математическа постановка на задачата за продължителност на интервала от време на невидимост на кораба от Земята – 6 т.

За верен числен резултат – 1 т.