НОА 2022, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 1. Извънземен сигнал

• А) 26.7 светлинни години

  От Δδ = 145°, r₃ ≈ 172.1 св.г., sin θ ≈ 0.337 и r_x = r₁ sin θ.

• Б) $\varphi \approx 59.7^\circ,\quad 2\beta = 1.6^\circ$

  cos φ = r/r₁ = 40/79.3 дава φ ≈ 59.7°; sin β = R/z дава β ≈ 0.8°.

• В) $\varphi_1 = 41.7^\circ,\quad \varphi_2 = 81.7^\circ$

  γ₁ = 110°, γ₂ = 70°, ξ₁ = ξ₂ = 28.3°.

Решение (12 т.):

Да означим с $r_1$ и $r_2$ разстоянията от нас до Регул и до Алнаир. Щом Регул е полярна звезда за жителите на северното полукълбо на планетата, а Алнаир – за жителите на южното полукълбо, то оста на планетата трябва да лежи върху правата, свързваща тези две звезди. А ако Слънцето лежи на небесния екватор, то посоката от планетата към него е перпендикулярна на тази права. Така определяме положението P на планетата в пространството.

Означаваме с $r_3$ разстоянието между Регул и Алнаир, а с $r_x$ търсеното разстояние от нас до планетата. Виждаме, че ректасцензиите на Регул и Алнаир се различават с $12^{h}$. Това означава, че те лежат на два диаметрално противоположни небесни меридиани. Да означим с $\delta_1$ и $\delta_2$ деклинациите съответно на Регул и на Алтаир. За нас, земните наблюдатели, ъгловото разстояние между двете звезди ще бъде:

За триъгълника, съставен от Слънцето, Регул и Алтаир можем да приложим косинусовата теорема:

След това прилагаме синусовата теорема, за да намерим $\sin\theta$:

Накрая пресмятаме разстоянието от нас до планетата P:

Другата планета, разглеждана в задачата, е отдалечена от нас на разстояние $r = 40$ светлинни години. Нейната ос на въртене също е насочена към Регул. Равнината на нейния екватор съвпада с равнината на орбитата ѝ около нейната звезда. В такъв случай ние бихме виждали централни пасажи на планетата по диска на звездата, ако Слънцето се намира в същата тази равнина. Можем да намерим видимото ъглово разстояние от звездата до Регул:

Не е известно къде е южният небесен полюс на тази планета. За да наблюдаваме централни пасажи по диска на звездата, тя трябва да отстои на ъгъл $\varphi$ от Регул. Следователно звездата, около която обикаля планетата, трябва да лежи на една окръжност от небесната сфера с център звездата Регул и радиус 59.7°.

Нека R е радиусът на звездата, около която обикаля планетата, а z е радиусът на орбитата на планетата около нея. Означаваме с $\beta$ ъгъла, който зрителният лъч от земния наблюдател сключва с орбиталната равнина на планетата при наблюдение на нецентрален пасаж. Ще намерим максималната стойност на този ъгъл, при която може да се наблюдава пасаж на планетата. Както се вижда от схемата:

Следователно, за да можем да наблюдаваме каквито и да било пасажи на тази планета, звездата, около която тя обикаля, трябва да се намира в ивица с ширина $2\beta = 1.6°$ и централна линия, представляваща окръжност с радиус 59.7° около звездата Регул.

Нека сега отново планетата да се намира на разстояние $r = 40$ светлинни години и отново оста ѝ да е насочена към Регул, но нейната екваториална равнина да сключва ъгъл 20° с равнината на орбитата ѝ. Ще разгледаме два гранични случая.

В двата случая оста на планетата, отбелязана на схемата като полярна ос, е насочена към звездата Регул. Зрителният лъч от Слънцето към планетата P лежи в нейната орбитална равнина и сключва прав ъгъл с перпендикуляра към тази равнина. От своя страна перпендикулярът към орбитата на планетата е наклонен на 20° към полярната ос. В ситуацията, означена на схемата с A:

В ситуацията B:

Прилагаме синусовата теорема и намираме:

Но тъй като $\sin\gamma_1 = \sin\gamma_2$, получаваме:

Накрая намираме ъгловите отстояния на звездата с планетата от Регул:

При наклон на оста на планетата към нейната орбита 20°, в зависимост от ориентацията на орбиталната равнина има вероятност да можем да наблюдаваме централни пасажи, ако звездата с планетата се намират в една пръстенообразна област от небесната сфера с център звездата Регул, вътрешен радиус 41.7° и външен радиус 81.7°. Разбира де, можем да разширим тази област още с по 0.8° около вътрешната и външната граница, ако допуснем да се наблюдават и нецентрални пасажи.

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

А) За правилни разсъждения – 2 т.

За пресмятания и числен резултат – 2 т.

Б) За определяне на линията, в която трябва да се намира звездата, за да се наблюдават централни пасажи – 2 т.

За намиране на ширината на ивицата, в която могат да се виждат и нецентрални пасажи – 2 т.

В) За правилно разглеждане и пресмятания по двете ситуации – 3 т.

За правилно крайно описание на областта – 1 т.