НОА 2022, IV кръг, Младша възраст — Задача 1. Велико противостояние.

• А) Δr = 0.379 au; δ ≈ 24.7″
• Б) 0.29 °/d
• В) 34.2 min
• Г) 56.7 min

Решение (15т.):

Нека да въведем следните означения:

$r_{\text{З}} = 1\ \mathrm{au}$ – радиус на земната орбита;

$a_{\text{М}}$ – голяма полуос на марсианската орбита;

$V_{\text{З}}$ – орбитална скорост на Земята;

$V_{\text{М}}$ – орбитална скорост на Марс.

$T = 365.25\mathrm{d}$ – орбитален период на Земята

$e$ – ексцентрицитет на орбитата на Марс.

А) По време на противостоянието, разстоянието между Марс и нашата планета е:

Ако $R_{\text{М}}$ е радиусът на Марс, то видимият ъглов размер на тази планета, по време на великото противостояние е:

Б) Можем да запишем, че:

Кръговата скорост на разстояние, равно но голямата полуос на марсианската орбита е:

От тук следва, че скоростта, с която Марс преминава през своя перихелий (което е необходимо условие, за да бъде той във велико противостояние) е:

По време на противостоянието, разстоянието между Марс и нашата планета е:

Следователно, видимата за нас ъглова скорост на Марс, в този момент е:

Получената стойност е много ниска, но това се дължи на близките скорости на Земята и Марс.

В) Понеже, далечните фонови звезди се приемат за неподвижни, то продължителността на една централна окултация на звезда от диска на Марс е равна на времето, за което той изминава един свой видим ъглов диаметър, наблюдаван от Земята.

Този интервал от време е:

Г) Видимият ъглов диаметър на Луната е:

Ъгловата скорост на Луната на фона на далечните звезди е:

Както се вижда, видимата ъглова скорост на Луната е много по-голяма от тази на Марс.

Следователно, можем да приемем, че една централна окултация на Марс от Луната трае толкова, колкото би продължила централна окултация на далечна и неподвижна звезда. Това е времето, за което Луната изминава своя видим ъглов диаметър, а именно:

Критерии за оценяване:

А) – 3т.

• За правилни изразяване на разстоянието до Марс и верен числен отговор – 1.5т.
• За правилно изразяване на видимия ъглов размер на Марс и верен числен отговор – 1.5т.

Б) – 6т.

• За намиране на скоростите на Земята и Марс (по време на велико противостояние) – 2т.
• За правилно изразяване на видимата ъглова скорост – 3т.
• За верен числен резултат – 1т.

В) – 3т.

• За правилно съобразяване, че Марс изминава един свой видим ъглов диаметър по време на окултацията – 1т.
• За изразяване на нейната продължителност и верен резултат – 2т.

Г) – 3т.

• За правилно изразяване на ъгловата скорост на Луната – 1т.
• За съобразяване, че Луната трябва да измине практически един свой видим ъглов размер – 1т.
• За правилен израз и верен числен резултат – 1т.