НОА 2022, IV кръг, Старша възраст — Задача 1

• А) 1040 ″/d
• Б) 56.6 min
• В) Да: точка от екватора трябва да има скорост $\Delta V \approx 3.19\ \mathrm{km/s}$, т.е. период на въртене най-много $T_{MAX} \approx 3.48\ \mathrm{h}$, като Земята трябва да се върти в посока, обратна на сегашната.

Решение (15т.):

А) Нека да въведем следните означения:

$r_\text{З}$ = 1 au – радиус на земната орбита;

$a_\text{М}$ – голяма полуос на марсианската орбита;

$V_\text{З}$ – орбитална скорост на Земята;

$V_\text{М}$ – орбитална скорост на Марс.

T = 365.25d – орбитален период на Земята.

Можем да запишем, че:

Кръговата скорост на разстояние, равно но голямата полуос на марсианската орбита е:

Оттук следва, че скоростта, с която Марс преминава през своя перихелий (което е необходимо условие, за да бъде той във велико противостояние) е:

По време на противостоянието, разстоянието между Марс и нашата планета е:

Следователно, видимата за нас ъглова скорост на Марс, в този момент е:

Получената стойност е много ниска, но това се дължи на близките скорости на Земята и Марс.

Б) Видимият ъглов диаметър на Луната е:

Ъгловата скорост на Луната на фона на далечните звезди е:

Както се вижда, видимата ъглова скорост на Луната е много по-голяма от тази на Марс.

Следователно, можем да приемем, че една централна окултация на Марс от Луната трае толкова, колкото би продължила централна окултация на далечна и неподвижна звезда. Това е времето, за което Луната изминава своя видим ъглов диаметър, а именно:

В) Марс няма да се движи на фона на далечните звезди, които приемаме за неподвижни, ако скоростта на въртене на Земята около оста ѝ е равна на разликата в скоростите, с които се движат двете планети по време на противостоянието.

Получава се, че точка от земната повърхност трябва да има скорост:

Тази скорост е много по-малка от първа космическа скорост, т.е. бихме могли да останем на повърхността на планетата ни, ако тя се въртеше толкова бързо.

Можем да намерим какъв е максималният възможен период на околоосно въртене на нашата планета, ако има точка от повърхността ѝ, движещата се с такава скорост. Разбира се, това би следвало да е точка от Екватора.

В такъв случай, максималният възможен период е:

Двете планети се движат в една и съща посока по своите орбити, а Земята се върти около оста си в същата тази посока. Следователно, лесно може да се съобрази, че за да виждаме как Марс „стои“ по време на противостояние, то планетата ни трябва да се завърти в обратна посока на сегашната.

Критерии за оценяване:

А) – 7т.

• За правилно изразяване на скоростите на Земята и Марс, по време на противостоянието и верни числени резултати - 2т.
• За правилно изразяване на видимата ъглова скорост – 4т.
• За верен числен резултат – 1т.

Б) – 3т.

• За правилно изразяване на видимата ъглова скорост на Луната – 1т.
• За правилно изразяване на продължителността на окултацията – 1т.
• За верен числен резултат – 1т.

В) – 5т.

• За правилни съображения, относно скоростта на точка от земната повърхност. – 2т.
• За правилно изразяване на тази скорост и намиране на максималния възможен период на въртене на Земята около оста – 2т.
• За правилни съображения, относно посоката на скоростта – 1т.