НОА 2022, IV кръг, Старша възраст — Задача 1. Планета Х

• Б) Максимален блясък – ден номер 68; минимален блясък – ден номер 266.

• В) I начин: r ≈ 4.9 au, T ≈ 10.84 години; II начин: T ≈ 12.77 години, r ≈ 5.46 au. Планетата е Юпитер.

  В официалното решение за II начин е отпечатано „$r[au] = T[y]^{2/3} \approx 5.46$ години“ — единицата е сгрешена в източника (радиусът е в au).

• Д) По-точен е първият метод (сравнение на максималния и минималния блясък); вторият е „неустойчив“ на малки отклонения във входните данни.

Решение:

А) Използвайки данните в таблицата, построяваме крива на блясъка на планетата:

Прекарваме плавна крива през точките.

Б) Използвайки метода на хордите, определяме, че моментът на максимален блясък е през ден номер 68, а минималният блясък е в ден номер 266.

В)

I начин: Използвайки данните, виждаме, че когато планетата е най-ярка, тя има звездна величина $\mathbf{m_1 = -2.8^m}$, а когато е най-слаба – $\mathbf{m_2 = -1.9^m}$.

Планетата би трябвало да е външна, защото, ако е вътрешна, то нейният минимален блясък (по време на долно съединение) би следвало да е 0. При предположение за външна планета, то максималната яркост ще е в противостоене, а минималната по време на съединение. Ако съответните осветености, които планетата създава върху Земята са $E_1$ и $E_2$, то съгласно закона на Погсън:

Нека с r да означим радиуса на орбитата на планетата, а с $r_E = 1$ au радиуса на земната орбита.

По време на противостоене, разстоянието между Земята и тази планета е

а по време на съединение:

И при двете конфигурации планетата показва една и съща фаза за земния наблюдател (огряни са 100% от нейния диск).

Следователно можем да запишем следното равенство:

Така получаваме, че:

Решавайки това уравнение, относно неизвестното r, получаваме:

r ≈ 4.9 au.

Използвайки третия закон на Кеплер, записан за тяло, което се движи в орбита около Слънцето, намираме, че периодът на планетата е:

Тези стойности е много близо до орбиталните характеристики на Юпитер, което най-вероятно е и планетата, която търсим.

II начин:

Интервалът от време между моментите на минимален и максимален блясък (t = 198d) е всъщност времето от противостоене до следващото съединение. Това е половината от синодичния период ($T_{SYN}$) на тази планета, спрямо Земята.

Така намираме, че: $\mathbf{T_{SYN} = 396d}$.

Понеже планетата е външна, то:

Където T е орбиталният период на въпросната планета.

Така намираме, че:

Пак, използвайки третия закон на Кеплер, намираме:

Действително, периодът на Юпитер е около 12 години. Това означава, че и този метод потвърждава, че неизвестната планета е именно той.

Г)Виждаме, че и при двата метода се получават слабо различаващи се стойности на орбиталния радиус и на периода. Причините за разминаванията с истинските стойности могат да са следните:

• Ние извършваме нашите пресмятания при предположение, че и Земята и Юпитер се движат по идеално кръгови орбити, лежащи точно в една равнина. Това разбира се, не е напълно вярно. Земята не движи равномерно по своята орбита и за това интервалът от време между съединение и противостояние може да се различава от половин синодичен период. Юпитер също има (макар и слабо) елиптична орбита.
• Също така, звездната величина ни е зададена с точност $0.1^m$. Тъй като разликата между минималната и максималната звездна величина е $0.9^m$, то това до известна степен влошава точността, с която пресмятаме съотношението, между максималната и минималната осветеност, създавана от планетата. Това, разбира се, се отразява на точността, с която намираме орбиталния радиус на планетата.

Д) По-точният метод за определяне на орбиталните характеристики на планетната орбита е първият: чрез сравнение на максималния и минималния блясък на планетата.

Можем да направим следния мислен експеримент: нека да намалим с 1d интервала от време между максималния и минималния блясък на планетата. Така получаваме промяна от 2d в синодичния период и той се получава 394 d.

Ако използваме такава стойност, сидеричният период на планетата се получава 12.88 години. Това показва, че този метод е „неустойчив“ на малки отклонения във входните данни, получени от графиката ни.

Поради това, че тези данни се получават на ръка, то е напълно възможно е да имаме и по-големи отклонения в измерванията. Затова използването на този метод може да доведе до значителна неточност.

Критерии за оценяване (20т.):

А) – 3т.

• За правилно построена графика, върху която са нанесени всички точки, прекарана е плавна крива линия и е използван разумен мащаб – 3т.

Б) – 3т.

• За определяне на моментите на максимален и минимален блясък, по метода на хордите – за всеки по 1.5т.

В) – 8т.

• За намиране на орбиталния период и радиус на планетата по два различни начина, които са правилно изпълнени, добре обосновани и са получени разумни стойности – за всеки по 4т.

Г) – 3т.

• За коментиране на поне два фактора, които ограничава точността и могат да доведат до различни стойности, получени по двата метода – за всеки фактор по 1.5т.

Д) – 3т.

• За детайлна обосновка кой от двата метода е по-точен, в която са използвани конкретни числени данни – 3т.