НОА 2023, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 4. Спътник в затъмнение

• А) В моментите на пролетно или есенно равноденствие.

  Станцията и Луната са в зенита за наблюдател на екватора, следователно Луната е на небесния екватор; при централно лунно затъмнение Слънцето е диаметрално противоположно и също на небесния екватор.

• Б) $t = \frac{\delta_L}{\omega_0} \approx 123.7\ \text{s}$

  Приблизителна оценка, при която движението на Луната се пренебрегва. В публикуваните решения по-точните стойности за случаите ε + i и ε − i са оставени незапълнени („≈ ⋯“).

• В) $\beta = \frac{d}{r - R}\cdot\frac{180°}{\pi} \approx 0.000032° \approx 0.11''$

  0.11″ е значително под 1″, така че станцията не може да се различи на фона на лунния диск. Непосредствено преди пасажа тя няма да се вижда и като светеща точка, защото е в земната сянка (наблюдението е по време на лунно затъмнение).

За да бъде станцията геостационарна, нейната орбита трябва да лежи в равнината на земния екватор. Щом наблюдателят на Земята вижда станцията в зенита, то той се намира на земния екватор. Но за него Луната също преминава през зенита. Следователно в този момент за за наблюдателя тя се вижда на небесния екватор. Ако по същото време има централно лунно затъмнение, то Слънцето трябва да е в точка диаметрално противоположна на центъра на Луната и също трябва да е на небесния екватор. Следователно описаното явление може да се случи в моментите на пролетно или есенно равноденствие.

За земния наблюдател геостационарната станция ще бъде през цялото време в зенита. Продължителността на пасажа на станцията по лунния диск ще зависи от ъгловата скорост $\omega_0$ на въртене на Земята и ъгловата скорост $\omega$ на орбиталното движение на Луната около Земята. Ако означим с $T_0 = 23h\ 56m$ звездното денонощие, а с $T$ сидеричния лунен месец, то:

Ясно е оттук, че ъгловата скорост на Луната е примерно около 27 пъти по-малка от ъгловата скорост на въртене на Земята. Ето защо, за приблизителното пресмятане на продължителността на пасажа на станцията по диска на Луната ние можем да пренебрегнем движението на Луната. Тогава продължителността на пасажа ще бъде:

където $\delta_L$ е ъгловият диаметър на видимия лунен диск.

Ако искаме да отчетем движението на Луната, ще се наложи да направим няколко уточнения. Лунната орбита не лежи в равнината на земния екватор. Нека за определеност да считаме, че затъмнението се наблюдава в деня на есенното равноденствие. Тогава Луната ще се намира в пролетната равноденствена точка. Да означим с $\varepsilon$ наклона на еклиптиката към небесния екватор, а с $i$ наклона на лунната орбита към еклиптиката. Понеже затъмнението е централно и явлението се наблюдава в неговия централен момент, то центърът на видимия лунен диск преминава точно през възела на лунната орбита. Ако това е възходящият възел, то ъгълът между небесния екватор и лунната орбита в точката на тяхното пресичане ще бъде равен на $\varepsilon + i$. Ако Луната минава през низзходящия възел на орбитата си, то ъгълът между лунната орбита и небесния екватор ще бъде $\varepsilon - i$.

Първо ще пресметнем линейната скорост на точката от екватора, където е наблюдателят ($v_0$), както и линейната скорост на Луната по нейната орбита ($v_L$):

където $R$ е екваториалният радиус на Земята, а $r_L = 384000\ \text{km}$ е радиусът на лунната орбита. Относителната линейна скорост на Луната спрямо наблюдателя е векторната разлика между тези две скорости:

Като използваме косинусовата теорема, получаваме:

Сега можем да намерим относителната видима ъглова скорост на Луната спрямо звездното небе за земния наблюдател:

Видимата ъглова скорост на геостационарната станция относно звездите е равна по големина на ъгловата скорост на въртене на Земята $\omega_0$. За да намерим продължителността на пасажа на станцията по лунния диск, ние трябва да определим относителната ъглова скорост $\omega''$ на станцията спрямо Луната. По принцип тя трябва да е равна на разликата между скоростите $\omega'$ и $\omega_0$. Но тези две видими ъглови движения също не стават в една посока. Ъгълът между направленията, в които те се извършват, е равен на ъгъла $\alpha$ между векторите на скоростите $v'$ и $v_0$. Този ъгъл можем да намерим чрез синусовата теорема:

След това отново чрез косинусовата теорема намираме:

Накрая за продължителността на пасажа получаваме:

1. При ъгъл между лунната орбита и екватора $\varepsilon + i$:

2| При ъгъл между лунната орбита и екватора $\varepsilon - i$:

Нека диаметърът на геостационарната станция е $d$. Означаваме с $r$ радиуса на орбитата на станцията. Тогава видимият ъглов диаметър на станцията за земния наблюдател ще бъде:

Получената стойност е значително по-малка от 1″. Следователно с техниката, с която разполага земният наблюдател, станцията не може да се различи на фона на лунния диск. Непосредствено преди началото на пасажа геостационарната станция няма да се вижда като светеща точка, защото тогава тя ще бъде в земната сянка – наблюдението се провежда по време на лунно затъмнение. Така че станцията няма да се осветява от Слънцето.

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

За правилен отговор и обяснение кога през годината може да се случи наблюдаваното явление – 3 т.

За правилен начин на приблизително определяне на продължителността на пасажа – 2 т.

За краен числен резултат – 1 т.

При опит за отчитане на ъгъла на наклона на лунната орбита към екватора и разглеждане на двата възможни случая – 2 т.

За определяне на видимия ъглов размер на станцията – 2 т.

За правилен извод за видимостта на станцията по време на пасажа – 1 т.

За правилен извод за видимостта на станцията непосредствено преди началото на пасажа – 1 т.