Съдържание

НОА 2023, IV кръг, Младша възраст — Задача 1. Околополюсна звезда

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2023

Министерство на образованието и науката. Комисия за провеждане на олимпиадата по астрономия. XXVI Национална олимпиада по астрономия. IV кръг, 14.07.2023 г., Варна, теоретичен тур. Младша възраст · 14 юли 2023 г. · 15 т.

Условие

Околополюсна звезда е наблюдавана от две различни места, пункт $A$ ( $50^{\circ}$ E, $50^{\circ}$ N) и пункт $B$ ( $70^{\circ}$ E, $70^{\circ}$ N). И за двете места звездата кулминира северно от зенита.

а) За наблюдателя в точка $B$ звездата достига горна кулминация в 6:06 UT (Универсално време) на 6 юни. Каква е ректасцензията на звездата? [5 т.]

б) Шест часа преди горна кулминация на същата звезда за пункт $B$ нейният азимут е с шест градуса по-голям от азимута, който тя е имала шест часа преди горната си кулминация за място $A$ . Каква е деклинацията на звездата? [5 т.]

в) Ако паралаксът на звездата е 0.0066”, видимата ѝ звездна величина е 6.66 mag, температурата ѝ е 6666 K и звездата се върти около оста си с период 6.6 денонощия, то каква е скоростта на точка от екватора на звездата? Болометричната корекция на блясъка да се пренебрегне. [5 т.]

Справочни данни:

Абсолютна звездна величина на Слънцето	$M_V = 4.75\ \mathrm{mag}$
Фотосферна температура на Слънцето	$T_\odot = 5770\ \mathrm{K}$
Радиус на Слънцето	$R_\odot = 696\,000\ \mathrm{km}$

Решение

Решение:

а) Тук пренебрегваме уравнението на времето. Място A (географска дължина $\lambda = 50^{\circ}\,\mathrm{E}$ ) е на $50/15 = 3.333\ \mathrm{h}$ от Гриничкия меридиан в източна посока. Слънцето кулминира средно в 12 UT за Гринич, следователно ще кулминира в $12 - 3.333 = 8{:}40$ UT средно за $50^{\circ}\,\mathrm{E}$ . Звездата кулминира в 06:06 UT или 2 h 34 m по-рано от Слънцето. Следователно, това е разликата в звездните времена в моментите на двете кулминации (на звездата и на Слънцето). Затова ректасцензията на звездата е 2 h 34 m по-малка от ректасцензията на Слънцето на тази дата.

Датата 6 юни е 15 дни преди лятното слънцестоене, когато ректасцензията на Слънцето е 6 h. За 15 дни ректасцензията на Слънцето се променя приблизително с $15^{\circ} = 1\ \mathrm{h}$ , т.е. ректасцензията на Слънцето е близо до 05 h 00 m. Ректасцензията на звездата е приблизително 05 h 00 m – 2 h 34 m = 02 h 26 m.

б) Звездата описва видима окръжност около полюса за 23 h 56 m, следователно за 6 h описва 1/4 от окръжността. На голяма деклинация $\delta$ тази окръжност е приблизително планиметрична. Шест часа преди горна кулминация звездата ще бъде вдясно от северния небесен полюс, на разстояние $90^{\circ} - \delta$ от него. На чертежа това са дъгите $P_A C_A$ (гледано от място A) и $P_B C_B$ (гледано от място B). Положенията на звездата за двете места се проектират съответно в $H_A$ и $H_B$ .

Чертеж на небесната полусфера над хоризонта NS със зенит Z; означени са полюсите P_A и P_B за двете места, положенията на звездата C_A и C_B върху малки кръгове, успоредни на хоризонта, и техните проекции H_A и H_B върху хоризонта близо до точка N.

Положенията на звездата $C_A$ и $C_B$ лежат приблизително на малките кръгове (алмукантарати), успоредни на хоризонта, минаващи през полюсите (на височина $\varphi$ , равна на географската ширина). По условие $H_A H_B = 6^{\circ}$ . Малките кръгове като ъглова дължина са еквивалентни на екватора, умножен по $\cos h$ ; съответно $1^{\circ}$ на екватора се проектира като $1^{\circ} \cos h$ върху малкия кръг. Разстоянията от звездата до полюса $90^{\circ} - \delta$ се проектират като $(90^{\circ} - \delta)/\cos\varphi$ върху хоризонта (тъй като $h = \varphi$ ). Следователно можем да разпишем

NH_B - NH_A = H_A H_B,

\frac{90^{\circ} - \delta}{\cos\varphi_B} - \frac{90^{\circ} - \delta}{\cos\varphi_A} = 6^{\circ},

90^{\circ} - \delta = \frac{6^{\circ}}{\frac{1}{\cos 50^{\circ}} - \frac{1}{\cos 70^{\circ}}} = 4.4^{\circ} \quad \Rightarrow \quad \boxed{\delta = +85.6^{\circ}.}

в) Разстоянието до звездата е $r = \frac{1}{p} = 151.5\ \mathrm{pc}$ . Абсолютната звездна величина намираме от

m - M = -5 + 5\lg r,

получавайки $M = 0.76\ \mathrm{mag}$ . Пренебрегвайки болометричната корекция, приемаме, че това е абсолютна болометрична звездна величина. Светимостта на звездата $L$ намираме от

\frac{L}{L_\odot} = 10^{0.4(M_V - M)} = 39.44.

Радиуса на звездата намираме от закона на Стефан-Болцман:

\frac{L}{L_\odot} = \left(\frac{R}{R_\odot}\right)^2 \left(\frac{T}{T_\odot}\right)^4.

Получаваме $R = 4.70\ \mathrm{R}_\odot = 3\,271\,000\ \mathrm{km}$ . От периода на въртене около оста $P$ намираме скоростта на екватора:

v_{\mathrm{eq}} = \frac{2\pi R}{P} = \boxed{36\ \mathrm{km/s}.}

Александър Куртенков

Критерии за оценяване (15 т.):

∅

Оригинал в Архива: 23-IV-teorML.pdf · официални решения: a23-IV-teorML.pdf