Съдържание

НОА 2024, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 1. Игор и Мориц

Оригинал на условието (Word)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2024

XXVII НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ. III кръг, 27 април 2024 г. Ученици от 9-10 клас · 27 април 2024 г. · 12 т.

Условие

Игор и Мориц са двамата астрономи, които освен това са и много добри приятели. Игор живее в руския град Игарка, който се намира почти точно на северната полярна окръжност и има координати $\varphi_1 = 67^{\circ}\ 28'\ \mathrm{N}$ и $\lambda_1 = 86^{\circ}\ 35'\ \mathrm{E}$ . Мориц живее в градчето Мористаун в щата Минесота в САЩ. Координатите на този град са: $\varphi_2 = 44^{\circ}\ 13'\ \mathrm{N}$ и $\lambda_2 = 93^{\circ}\ 25'\ \mathrm{W}$ .

А) Колко километра е разстоянието между двата града, измервано по най-късия път между тях, ако се движим само по земната повърхност? [2 т.]

Б) Възможно ли е в момент на местно пладне за Мориц, Слънцето да бъде над хоризонта за Игор? Ако отговорът Ви е Да, то кога през годината може да се случи това? [2 т.]

Един ден Игор решил да отиде на гости на Мориц. Той излетял от Игарка със своя частен самолет и пътувал по най-краткия възможен път. В момента на излитането, местното време за Игор е било 14:00 ч, а датата е била 12 декември. Самолетът развива скорост 1000 km/h.

В) В колко часа и на коя дата по местно време той ще пристигне в Мористаун при Мориц. [4 т.]

Г) На връщане, Игор излетял от Мористаун в 20:00 ч на 21 декември. В колко часа и на коя дата, по местно време, той се е приземил в Игарка? През деня или през нощта е пристигнал Игор в родния си град? [4 т.]

Приемете, че Земята е сфера с радиус $R_З = 6\ 371\ \mathrm{km}$ .

Не отчитайте рефракцията на светлината в земната атмосфера и приемете, че височината, на която самолетът е летят, е пренебрежимо малка в сравнение със земния радиус.

Отговори

Решение

Решение:

А) Забелязваме, че географските дължини на двата града се допълват до $180^{\circ}$ , но Игарка се намира в източното полукълбо, а Мористаун в западното. Това означава, че двата града са разположени на два срещуположни меридиана и най-късият път между тях (т.е. големият кръг по повърхността на Земята, който ги свързва) преминава през северния полюс.

Двата града отстоят от полюса съответно на ъгли :

$\alpha_1 = 90^{\circ} - \varphi_1 = 22^{\circ}32'$ за Игарка и

$\alpha_2 = 90^{\circ} - \varphi_2 = 45^{\circ}47'$ за Мористаун.

Следователно, ако R е радиусът на Земята, то разстоянието между тях е:

L = \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{360^{\circ}} 2\pi R \approx 7\ 604\ km

Б) Тъй като Мористаун и Игарка са разположени на два противоположни меридиана, то разликата в местните им времена е точно 12 часа. Следователно, когато за Мориц е местно пладне, за Игор е местна полунощ, т.е. той не би следвало да вижда Слънцето. Но все пак, описаната в условието ситуация е възможна. Това може да се случи в деня на лятното слънцестоене (около 21 юни). Тогава, за всички наблюдатели, които се намират северно от северната полярна окръжност настъпва полярен ден. Дори в момент на местна полунощ, Слънцето се намира над хоризонта, точно на север. Именно тогава, Игор може да види Слънцето над хоризонта, точно когато за Мориц е пладне.

В) Нека скоростта на самолета да е V = 1 000 km/h.

Продължителността на пътуването от Игарка до Мористаун е:

\mathrm{t} = \frac{L}{V} \approx 7h\ 36min

Това означава, че Игор е кацнал в Мористаун в 21:36 на 12-ти декември, местно време за Игарка. Американският град се намира на противоположния меридиан и е разположен в западното полукълбо. Следователно, там местното време е с 12 часа назад, спрямо това е Игарка. Това означава, че Игор е пристигнал при своя приятел Мориц в 9:36 на 12-ти декември, местно време.

Г) Продължителността на полета на връщане е същата, както и на отиване.

Това означава, че Игор е кацнал в родния си град в 3:36 на 22-ри декември, по местното време на Мористаун. Но, местното време в Игарка е с 12 часа „напред“ спрямо това в Мористаун. Следователно, Игор ще се приземи в 15:36 на 22-ри декември.

Датата на пристигане е 22-ри декември и тя почти точно съвпада със зимното слънцестоене. Игарка се намира на около един градус северно от северната полярна окръжност. Това означава, че за наблюдател в този град, за някакъв период около тази дата, би трябвало да има полярна нощ. Следователно, Игор се е прибрал, в родния си град през нощта, независимо от това, че часът на кацане е 15:36 (т.е. може да се определи като следобеден час).

Критерии за оценяване (общо 12т):

А) – 2т.

За съобразяване на това, че двата града са разположени на два срещуположни меридиана – 0.5т.
За намиране на ъгловото отстояние от всеки един град до северния полюс – 0.5т.
За правилно изразяване на разстоянието между Игарка и Мористаун – 1т.

Б) – 2т.

За правилни разсъждения относно това при какви условия описаната ситуация е възможна – 1т.
За правилен извод – 1т.

В) – 4т.

За правилно изчисляване на продължителността на полета – 1т.
За намиране на часа на кацане по местното време на Игарка – 1т.
За съобразяване, че местното време в Мористаун е с 12 часа назад – 1т.
За намиране на часа на кацане по местно време – 1т.

Г) – 4т.

За намиране на часа на кацане по местно време за Мористаун – 1т.
За пресмятане на часа на кацане по местното време на Игарка – 1т.
За съобразяване на факта, че на тази дата в Игарка трябвало да се наблюдава полярна нощ – 1т.
За правилен извод, че Игор ще пристигне през нощта – 1т.

Оригинал в Архива: 24-III-910-teor.docx · официални решения: a24-III-910-teor.docx