НОА 2024, IV кръг, Младша възраст — Задача 1. Кулминация на звезда

Решение.

а) Ако наблюдател с географска ширина $\varphi$, наблюдава звезда с деклинация $\delta$ и тя е в горна кулминация, то за зенитното ѝ отстояние $z$ е изпълнено:

В нашия случай, имаме наблюдатели с ширини $\varphi_1$ и $\varphi_2$, като без ограничаване на общността можем да приемем, че $\varphi_1 < \varphi_2$. Описаната ситуация е възможна, ако за единия наблюдател Капела кулминира на юг от зенита, а за другия на север. И за двамата звездата има зенитно отстояние $z = 20^{\circ}$. Оттук следва, че:

Лесно пресмятаме, че: $\varphi_1 = 25^{\circ}50'$ $\varphi_2 = 65^{\circ}50'$.

Понеже горната кулминация на Капела настъпва едновременно за двамата астрономи, те се намират на един и същи меридиан. Следователно, разстоянието между техните обсерватории е:

б) Тъй като Капела се намира в горна кулминация, то моментът по звездно време ($s$) е равен на нейната ректасцензия, т.е. $s = 5^{\mathrm{h}}\,17^{\mathrm{m}}$. В деня на есенно равноденствие слънчевото и звездното време съвпадат. С всеки изминал ден, звездното време „изпреварва“ средното слънчево с 3 m 56 s. От деня на последното есенно равноденствие са изминали 89 денонощия. Следователно натрупаната „преднина“ на звездното денонощие е 350 min 4 s. Пресмятаме, че слънчевото денонощие в този момент е 23:27.

в) За да бъде незалязваща една звезда, за нейната деклинация трябва да бъде изпълнено:

където $\varphi$ е географската ширина на наблюдателя. Виждаме, че това е изпълнено за младия астроном, който се намира на $\varphi_2 = 65^{\circ}50'$ (защото за него $90^{\circ} - \varphi = 24^{\circ}10'$). Следователно, от негова гледна точка Капела не залязва.

В долна кулминация Капела се намира над точно в посока север. Ъгловото отстояние между звездата и северния небесен полюс е $90^{\circ} - \delta$. Понеже височината на полюса над хоризонта е равна на географската ширина на наблюдателя $\varphi_2$, то в долна кулминация височината на Капела е:

г) Ако едно лунно затъмнение се наблюдава в местна полунощ, то Луната тогава е в горна кулминация за съответния наблюдател. В случая Луната би била в горна кулминация и за двамата наблюдатели, защото те са на един меридиан. Астрономът, който евентуално би могъл да не вижда затъмнението е този, който се намира на по-северната географска ширина. Трябва да проверим дали за него при определени условия Луната може да се окаже неизгряващо светило, т.е. дори в горна кулминация да е под хоризонта.

По време на лунно затъмнение, Луната се намира в точка от еклиптиката, която е противоположна на точката, в която се намира в този момент Слънцето. Това означава, че за да не се вижда Луната, трябва Слънцето да е над хоризонта в долна кулминация.

Географската ширина на по-северния астроном е близка до тази на северната полярна окръжност, но все пак е по-малка. Това означава, че той непременно би виждал лунното затъмнение, наблюдавано от другия, който се намира на юг.

Наклонът на лунната орбита е даден, но не е нужен за решаване на задачата :).

Никола Каравасилев

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

а) – За съобразяване на това, че единият астроном вижда Капела на юг от зенита, а другият я вижда на север – 1 т.

– За съобразяване, че зенитното отстояние на Капела е равно на модула на разликата между нейната деклинация и географските ширини – 1 т.

– За намиране на двете географски ширини – 1т.

– За изразяване на разстоянието между обсерваториите и верен числен отговор – 1 т.

б) – За съобразяване на звездното време – 0.5 т.

– За намиране на броя дни, изминали след последното есенно равноденствие – 1 т.

– За правилно пресмятане на разликата между звездното и слънчевото време – 1 т.

– За пресмятане на слънчевото време – 0.5 т.

в) – За доказателство за това, че Капела е незалязваща за астронома, намиращ се на по-северна географска ширина – 2 т.

– За правилно изразяване на височината на Капела в долна кулминация и верен числен отговор – 2 т.

г) –За правилни разсъждения относно това, че по време на лунно затъмнение Луната се намира в точка от еклиптиката – 1 т.

– За съобразяване на това, че никоя точка от еклиптиката не може да е незалязваща за наблюдател на тази географска ширина – 2 т.

– За правилен извод, че затъмнението непременно трябва да се вижда и от двамата астрономи – 1 т.