Съдържание

НОА 2024, IV кръг, Старша възраст — Задача 1. Северно затъмнение

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2024

XXVII Национална олимпиада по астрономия, подборен кръг, 10 юли 2024 г., Варна, практически тур, старша възраст · 10 юли 2024 г. · 20 т.

Условие

Задача 1. Северно затъмнение. Магнитното поле на Земята е сложно, като положението на магнитните полюси се променя с времето. На Фигура 1 е даден пътят на северния магнитен полюс, получен с помощта на реални измервания и моделиране. Всяка точка от пътя съответства на една година. Изопачаването на ъглите и разстоянията поради проекцията на картата може да се пренебрегне, тоест мащабната отсечка може да се ползва навсякъде по картата. Приема се, че навсякъде компасите сочат право към северния магнитен полюс.

Фигура 1

Указание: Броят дни, през които никоя част от Слънцето не се подава над хоризонта, се задава приблизително с формулата

T = \left(\frac{1}{2} - \frac{\arcsin\left(\frac{\cos(\varphi - \rho_\odot - \rho)}{\sin\varepsilon}\right)}{180^\circ}\right) T_E,

където $\varphi$ е географската ширина, $\delta_\odot$ е ъгловият размер на Слънцето, $\rho$ е рефракцията на хоризонта, а $T_E$ е продължителността на годината.

Указание: При решаването на последната част разгледайте движението на охлюва и полюса в подходяща координатна система. Запишете изрази за темпа на промяната на пълното им отстояние и темпа на промяната на отстоянието им по посоката на движение на полюса. Така открийте удобна комбинация от величини, която ще се запазва през цялото движение.

Справочни данни:

Радиус на Земята	$R_\mathrm{E} = 6370\,\text{km}$
Наклон на земната ос	$\varepsilon = 23^\circ 26'$
Ъглов радиус на Слънцето	$\rho_\odot = 16'$
Рефракция на хоризонта	$\rho = 35'$

а Намерете максималната скорост $v_{\max}$ на северния магнитен полюс по земната повърхност за дадения интервал. Дайте отговора си в mm/s. [2 т.] [2 т.]

б За някои места по Земята може да се окаже, че посоката север според компаса всъщност е географската посока юг. Между 2000 и 2020 такова явление е можело да се наблюдава поне веднъж в рамките на някаква зона по земната повърхност. Намерете каква част $q$ от пълната площ на земната повърхност се явява тази зона. [2 т.] [2 т.]

в През 2003 изследовател тръгва на експедиция към северния полюс, следвайки компаса си. Той стартира от инуитското селище Grise Fiord и се движи със средна скорост за денонощие $v = 2\,\text{km/h}$ . С какво разстояние $s$ ще се е приближил до северния полюс за време $T = 3\,\text{d}$ след старта? [2 т.] [2 т.]

г Някъде из Канадския арктичен архипелаг, а може би и на самите океански ледове, живее самотен инуитски шаман. За него слънчевият диск не се подава над хоризонта за цели $T_0 = 137\,\text{d}$ от годината. Между 1995 и 2015 направлението север според компаса му се е изместило с $90^\circ$ , което той отдава на някаква магия. Още по-удивително за шамана е пръстеновидното слънчево затъмнение, което той наблюдава през 2021.

На Фигура 2 е дадена карта, показваща видимостта на това затъмнение от Земята. В рамките на пояса „Annular“ затъмнението се наблюдава като пръстеновидно. Кривите с 0.80, 0.60, 0.40 и т.н. указват местата, където затъмнението се наблюдава като частично и максималната му фаза е именно такава. Кривите с 9:00 UT, 9:30 UT, 10:00 UT и т.н. указват местата, където именно в такива моменти по UT затъмнението е в максимална фаза. Кривата с форма на осмица не е от значение за задачата. В затъмнената част от картата Слънцето е под хоризонта. Географските паралели са начертани през интервали от $30^\circ$ .

Фигура 2

Нанесете върху Фигура 1 положението на шамана (точка $W$ ). Опишете построенията си достатъчно подробно. [3 т.] [3 т.]

д По какво местно време наблюдава шаманът затъмнението? [2 т.] [2 т.]

е Оценете с точност $5^\circ$ височината $h$ над хоризонта, на която шаманът вижда Слънцето по време на затъмнението. Оценете с точност $30^\circ$ астрономическия азимут на Слънцето в този момент. [3 т.] [3 т.]

ж През кой месец става затъмнението? [2 т.] [2 т.]

з Както много други мекотели, варненският полярен охлюв може да усеща магнитни полета. През 2003 един такъв охлюв тръгва от изследователската станция Alert, като движението му е винаги насочено по направление към северния магнитен полюс. Скоростта му по земната повърхност винаги се поддържа равна по големина на тази на полюса. След 2003 траекторията на полюса може да се приеме за праволинейна.

Оказва се, че при такова движение охлювът никога няма да успее да догони магнитния полюс. Той само ще достигне някакво минимално разстояние от него $l_{\min}$ .

Намерете $l_{\min}$ . [4 т.] [4 т.]

Отговори

а $v_{\max} = 55\ \text{km/yr} = 1.7\ \text{mm/s}$

Полюсът се движи най-бързо там, където точките от пътя му са най-нарядко; за интервала 2004–2015 дължината по мащаба е около 610 km.
б $q = \frac{S}{4\pi R_\mathrm{E}^2} = 3.6\times10^{-4} = 0.036\,\%$

Зоната е площта, замитана от отсечката между северния географски и северния магнитен полюс, $S \approx 185\,000\ \text{km}^2$ .
в $s = vT\cos\alpha = 125\ \text{km}$

Само част $\cos\alpha$ от движението е към географския север; $\alpha \approx 30^\circ$ е ъгълът при Grise Fiord между направленията към магнитния и към географския полюс.
г По-източната от двете пресечни точки на паралела $\varphi = 82.1^\circ$ с окръжността, чийто диаметър е отсечката между положенията на магнитния полюс през 1995 и 2015 (точка $W$ )

Ширината $\varphi = 82.1^\circ$ следва от формулата за брой полярни дни при $T_0 = 137$ d; западната пресечна точка отпада, защото там не се е наблюдавало пръстеновидно затъмнение.
д $5^\mathrm{h}\,37^\mathrm{m}$

Затъмнението е в максимална фаза в 10:45 UT, а дължината на $W$ е $-77^\circ = 5^\mathrm{h}8^\mathrm{m}$ .
е $h = 22^\circ,\quad A = 270^\circ$

От отношението на осите на елипсовидната сянка $b/a = 0.385$ следва $\sin h = 0.385$ . Реалните стойности са $h = 22^\circ$ и $A = 261^\circ$ .
ж юни

Височината на Слънцето около $22^\circ$ и на северния полюс сочи близост до лятното слънцестоене; реалната дата е 10 юни 2021 г.
з $l_{\min} = l/2 = 365\ \text{km}$

Величината $r + x$ се запазва; в началото $r = l = 730$ km и $x = 0$ , а в границата $r = x = l/2$ .

Решение

Решение.

а) Скоростта на магнитния полюс е максимална там, където точките от пътя му са най-нарядко. Ще разгледаме достатъчно дълъг интервал около този момент, например между 2004 и 2015. Този интервал указваме с $AB$ върху фигурата. Дължината му съгласно мащаба е около $610\,\text{km}$ , което дава скорост $v_{\max} = 55\,\text{km/yr} = \mathbf{1.7\ mm/s}$ .

б) Местата, изпълняващи условието, са всички точки $X$ , намиращи се точно по средата между северния географски и северния магнитен полюс, тъй като именно за тях $\angle NXC = 180^\circ$ . Търсена зона съответно се определя от площта, която замита отсечката, свързваща северния географски със северен магнитен полюс. За 2000-2020 това е на практика площта на $\triangle NCD$ от фигурата. Тази площ $S$ намираме с

S = \frac{NH \cdot CD}{2} = 185\,000\,\text{km}^2.

Търсеното отношение на площи се задава с

q = \frac{S}{4\pi R_\mathrm{E}^2} = 3.6 \times 10^{-4} = \mathbf{0.036\,\%}.

в) Тъй като преместването на изследователя за $T = 3\,\text{d}$ ще е сравнително малко, е по-добре да не измерваме $s$ по фигурата. Трябва да съобразим, че само част от движението на изследователя е на север. Отчитаме, че ъгълът между полюса тогава $P$ , селището Grise Fiord и северния полюс $N$ е приблизително $\alpha = 30^\circ$ . Само част $\cos\alpha$ от преместването на изследователя ще е насочена към $N$ . Доближаването му към полюса е съответно

s = vT\cos\alpha = \mathbf{125\ km}.

г) По формулата за брой полярни дни пресмятаме, че географската ширина на шамана е $\varphi = 82.1^\circ$ . Начертаваме по картата паралела на шамана. Знаем от условието, че шаманът е на такова положение, че магнитните полюси през 1995 и 2015 се виждат под ъгъл $90^\circ$ . Това означава, че той лежи на окръжността по картата, чийто диаметър е образуван крайните положения на полюсите.

Пресичаме двете окръжности и получаваме две възможни точки за шамана. Но обръщайки внимание на местата по земята, където се е наблюдавало пръстеновидно затъмнение, остава само един вариант – по-източната точка $\mathbf{W}$ .

Построението към подусловие г) върху Фигура 1: с пунктир е начертан паралелът на шамана, а с плътна линия – окръжността с диаметър, определен от крайните положения на магнитния полюс през 1995 и 2015; по-източната от двете пресечни точки е означена с W.

д) Виждаме от пътя на затъмнението, че в точката на шамана $W$ то се наблюдава в 10:45 UT. Също измерваме, че дължината на $W$ е $-77^\circ$ . В часова мярка това е $5^\mathrm{h}\,8^\mathrm{m}$ . За местното време остава да вземем разликата. Резултатът е $\mathbf{5^h\,37^m}$ .

е) Близо до земната повърхност лунната сянка може да се приеме за цилиндър в пространството. Формата на пресичането ѝ с хоризонта ще бъде елипса (тъй като цилиндърът е частен случай на конус). Параметрите на тази елипса могат да бъдат намерени от чертежа. Голямата полуос $a$ се получава от малката ос $b$ (радиус на цилиндъра), проектирана под ъгъл $h$ , равен на височината на Луната и Слънцето над хоризонта. Връзката между тях ще е $\sin h = b/a$ .

Схема към подусловие е): лунната сянка като цилиндър, пресечен от равнината на хоризонта; сечението е елипса с малка полуос b (радиус на цилиндъра) и голяма полуос a, като ъгълът h между оста на цилиндъра и равнината е височината на Слънцето и Луната над хоризонта.

Близо до мястото на шамана измерваме по пътя на затъмнението $b/a = 0.385$ , откъдето $h = \mathbf{22^\circ}$ . За азимута използваме, че голямата ос на елипсата сочи по направление към Слънцето и Луната. При мястото на шамана това направление е приблизително изток. Астрономическият азимут на точката изток е $A = \mathbf{270^\circ}$ . Реалните стойности са $h = 22^\circ$ и $A = 261^\circ$ .

ж) Виждаме, че следата на пръстеновидното затъмнение минава и през северния полюс. Аналогично за него може да намерим, че височината на Слънцето над хоризонта отново е около $22^\circ$ . Това е близо до лятното слънцестоене и месецът трябва да е юни. Реалната дата е 10 юни.

Друг подход е да използваме терминатора по фигурата на затъмнението. За всяка от точките по терминатора направлението към Слънцето е перпендикулярно на терминатора. Да отбележим точката от терминатора, където това направление е на север. Това е точката, където долната кулминация на Слънцето е на север, тоест там географската ширина е $90^\circ$ минус слънчевата деклинация. Но тази точка по фигурата не изглежда да е на повече от $67^\circ - 68^\circ$ ширина. Деклинацията на Слънцето трябва да е почти $23.5^\circ$ , което ни насочва към месец юни.

з) Приемаме, че магнитният полюс се движи по направление $PD$ с някаква променлива скорост $v(t)$ . Охлювът тръгва от Alert, когато магнитният полюс е в $P$ . Отсечката от него към $P$ е перпендикулярна на $PD$ . Дължината ѝ е $l = 730\,\text{km}$ .

Избираме координатна система, в която $P$ е нулата, оста $x$ е по $PD$ , а охлювът стартира от $(0, -l)$ . Разстоянието охлюв-полюс ще бележим с $r(t)$ .

Скоростта на охлюва в посока по свързващата отсечка $r(t)$ е цялото $v$ , а тази на полюса в посока по нея е $v\cos\alpha$ , където $\alpha$ е ъгълът, сключен от свързващата отсечка с хоризонта. Записваме уравнението за промяна на разстоянието $r(t)$ :

\frac{\Delta r}{\Delta t} = v\cos\alpha - v.

Схема към подусловие з) в избраната координатна система: полюсът тръгва от началото по оста x, охлювът – от точката (0, −l); означени са отсечката r(t), ъгълът α и разлагането на скоростите v и v cos α за полюса и за охлюва.

Видно е, че уравнението за промяна на хоризонталното отстояние $x(t)$ трябва да изглежда по сходен начин. Разглеждайки проекциите на скоростите по $x$ за полюса и охлюва, получаваме

\frac{\Delta x}{\Delta t} = v - v\cos\alpha.

Правим извод, че във всеки момент, независимо от $v$ , промените в $r$ и $x$ са противоположни по големина. Това означава, че $r + x$ се запазва.

В началото на движението $r = l$ , а $x = 0$ , тоест винаги $r + x = l$ . След много дълго време, когато охлювът е максимално близо до полюса, той ще се е движи почти изцяло по $x$ – все пак скоростта му винаги има компонента нагоре по $y$ , която го тласка към $y = 0$ . Това означава, че след много дълго време $l_{\min} = r = x$ . Така $l_{\min} = l/2 = \mathbf{365\ km}$ .

Стефан Иванов

Фигура 1 с построенията към задача 1: отсечката AB по пътя на полюса (2004–2015), триъгълникът NCD с височина NH, точките P и D по праволинейната траектория на полюса след 2003 и ъгълът α при Grise Fiord между направленията към P и към северния полюс N.

Критерии за оценяване (общо 20 т.):

– За разбиране къде скоростта е максимална	1 т.
– За верен резултат	1 т.
– За формата на зоната	1 т.
– За вярно намиране на частта от земната повърхност	1 т.
– За разбиране, че само част от движението е към географския север	1 т.
– За верен резултат	1 т.
– За намиране на ширината	0.5 т.
– За нанасяне на паралела	0.5 т.
– За описаната окръжност	1 т.
– За отхвърляне на случая без затъмнение и нанасяне на $W$	1 т.
– За намиране на дължината	0.5 т.
– За намиране на универсалното време	0.5 т.
– За пресмятане на местното слънчево време	1 т.
– За намиране на височината по сянката (в рамките на точността)	2 т.
– За намиране на азимута (в рамките на точността)	1 т.
– За правилен подход при намиране на месеца	1 т.
– За отговор около лятното слънцестоене (юни/юли).	1 т.
– За полезен избор на координатна система	1 т.
– За уравнения за движение	1 т.
– За разпознаване на инварианта	1 т.
– За съображения относно началния момент и граничния случай; за краен резултат	1 т.

Оригинал в Архива: 24-IV-praktST.pdf · официални решения: a24-IV-praktST.pdf