НОА 2025, I кръг (общински), 9–10 клас — Задача 1. Разстояния в Космоса

• Описание на три метода: годишен паралакс, стандартни свещи (цефеиди, свръхнови от тип Iа), закон на Хъбъл-Льометр.

Решение.

1. Първият метод, на който ще се спрем, се основава на явлението годишен паралакс на звездите. Това представлява отместването на видимото положение на една звезда поради движението на Земята по нейната орбита. Схематично, годишният паралакс е показан на Фигура 1.

На фигурата е показан частен случай, когато звездата се намира точно на 90⁰ от равнината на земната орбита (еклиптиката). При такива условия, с течение на годината видимото положение на звездата описва окръжност с ъглов радиус $\pi$ по небесната сфера, (приемаме земната орбита за кръгова). Този радиус е годишният паралакс на звездата. Използвайки го, можем да намерим разстоянието до нея. От показания триъгълник се вижда, че

където $a = 1\ \mathrm{au}$ е радиусът на орбитата на Земята. Видно е, че колкото по-близо до нас е звездата, толкова по-голям годишен паралакс има тя. Понеже ъгълът $\pi$ е много по-малък от 1 rad, можем да използваме приближението

Ако паралаксът се измерва в секунди, а разстоянието в парсеци, то е в сила следното съотношение:

Звезди, които се намират на отстояние от еклиптиката по-малко от 90⁰, поради паралактичното си движение описват елипси с голяма полуос, равна на ъгъла $\pi$. Колкото по-близо до еклиптиката се наблюдава една звезда, толкова по-сплесната е тази елипса.

2. За определяне на разстоянията в астрономията се използват и т.нар. стандартни свещи. Това са обекти, чиято светимост или знаем, или можем да изчислим, чрез някаква друга тяхна наблюдателна характеристика.

Един вид стандартни свещи са променливите звезди от клас цефеиди. Те са пулсиращи звезди с огромна светимост, за които е установено, че има връзка между средната абсолютна звездна величина и периода на пулсация (зависимост период-светимост). Точната формула не се изисква от учениците. Този период може да бъде измерен от наблюдения и от него да се изчисли средната абсолютна звездна величина на цефеидата $M$. Също така, от наблюдения може да се измери средната видима звездна величина $m$. Тогава, използвайки формулата за модул на разстоянието

можем да определим разстоянието до цефеидата $r$.

Друг вид стандартни свещи са свръхновите от тип Iа. Те се причиняват от бели джуджета в тесни двойни системи, върху които акретира вещество от другия компонент на системата. Когато масата на бялото джудже надвиши границата на Чандрасекар (около 1,4 маси на Слънцето), то избухва и това се нарича свръхнова от тип Iа. Установено е, че този вид свръхнови имат сравнително еднакви (по-точно сравнително лесни за изчисляване) абсолютни звездни величини в момента, в който блясъкът им е максимален. Тази абсолютна звездна величина е приблизително $M \approx -19^{\mathrm{m}}$. От наблюдения можем да измерим видимата звездна величина в максимум на блясъка $m$ и чрез горната формула да изчислим разстоянието до свръхновата. Това е един от методите, които се използват за измерване на разстояния до най-далечните обекти във Вселената.

3. Законът на Хъбъл-Льометр се използва в друг метод, чрез който могат да се измерват разстояния до галактики, които са на разстояние не по-малки от 10 Мpc от Млечния път. Съгласно този закон, ако дадена галактика се наблюдава на разстояние $r$ от нас, то тя се отдалечава със скорост

където $H$ е константата на Хъбъл. Нейната стойност според съвременните измервания е около 70 (km/s)/Mpc.

А скоростта, с която една галактика се отдалечава от нас, може да бъде изчислена чрез измерване на червеното отместване $z$ на линиите в нейния спектър. За малки стойности на $z$ ($<0.2$) с добра точност може да се използва приблизителната формула

където $c$ е скоростта на светлината.

Критерии за оценяване (общо 10 т.):

За назоваване на всеки от методите – 3 т. (3 × 1 т.)

За правилно и пълно описание на начина, по който методите се използват за измерване на разстояния – 6 т. (3 × 2 т.)

За наличие на метод, приложим за обекти извън Млечния път – 1 т.

При оценяването на тази задача трябва да се има предвид, че използваните от ученика методи за определяне на разстояния в Космоса могат да бъдат съществено различни от описаните в авторското решение. Ако обяснението е правилно и пълно, следва да се присъдят максимален брой точки.