Съдържание

НОА 2025, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 1. Климатичен проблем

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2025

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · НАЦИОНАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ · XXVIII НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ · Областен кръг на олимпиадата по астрономия · 23 февруари 2025 г. · Възрастова група XI-XII клас · 12 т.

Условие

Ученикът Мишо е решил да участва в конкурс за проекти на тема „Как да се справим с глобалното затопляне“. И той измисля идея! Според нея, с мощни ракетни двигатели трябва да преместим планетата джудже Церера до първата точка на Лагранж за системата Земя-Слънце. Това е точка, намираща се на правата линия между центровете на Земята и Слънцето, на разстояние 1,5 милиона километра от Земята. Поставен в тази точка, даден обект под съвместното действие на гравитационните сили на Земята и Слънцето може да остава в частично равновесие, което може да се поддържа с леки маневри на закрепени към обекта двигатели.

Справочни данни:

Величина	Стойност
Радиус на Церера	$R_C = 473$ km
Радиус на Слънцето	$R_{\odot} = 696000$ km
Разстояние от Земята до Слъцето	$r_E = 1{,}496 \cdot 10^{8}$ km
Температура на Слънцето	$T_{\odot} = 5770$ K

А) Колко процента от слънчевото лъчение, идващо към Земята, ще блокира Церера? [6 т.]

Б) С колко келвина трябва да се понижи температурата на Слънцето, така че дасе постигне същият ефект, без да се закрива част от него? [6 т.]

Решение

А) Видимият ъглов радиус на Слънцето е

\rho_{\odot} = \frac{R_{\odot}}{r_E}.

Когато Церера бъде пренесена в първата точка на Лагранж, отдалечена от Земята на разстояние $r_1 = 1{,}5\times 10^6\ \mathrm{km}$ , нейният видим ъглов радиус ще бъде

\rho_C = \frac{R_C}{r_1}.

Частта от ъгловата площ на видимия слънчев диск, която ще бъде закрита от Церера, ще бъде

k = \frac{\pi\rho_C^2}{\pi\rho_{\odot}^2} \approx 0{,}00461 \approx \mathbf{0{,}46\%}.

Макар да е много сложно да се прецени каква трябва да е тази величина, за да се получи желаният ефект за предотвратяване на глобалното затопляне, можем да предположим, че получената стойност е доста малка за тази цел. Навярно, за да се осъществи идеята на Мишо, в първата точка на Лагранж трябва да се пренесе някой по-голям космически обект.

Б) Нека означим светимостта и температурата на Слънцето съответно с $L_\odot$ и $T_\odot$ , а понижението на температурата, което е необходимо, за да се намали неговата светимост със същия процент – с $\Delta T$ . По-нататък можем да напишем

L_\odot = 4\pi R_\odot^2 \sigma T_\odot^4,

където $\sigma$ е константата на Стефан-Болцман. Тогава имаме

k = \frac{\Delta L_\odot}{L_\odot} = \frac{4\pi R_\odot^2\sigma T_\odot^4 - 4\pi R_\odot^2\sigma(T_\odot - \Delta T)^4}{4\pi R_\odot^2\sigma T_\odot^4},

k = 1 - \left(1 - \frac{\Delta T}{T_\odot}\right)^4,

\Delta T = T_\odot\left(1 - \sqrt[4]{1-k}\right).

Крайният ни резултат е

\Delta T \approx \mathbf{6{,}7\ K}.

Критерии за оценяване (общо 12 т.):
А) За правилен метод за определяне на намаляването на слънчевото греене в резултат от закриването от Церера – 5 т. За верен числен резултат – 1 т.
Б) За правилен метод за определяне на необходимото понижение на температурата на Слънцето – 5 т. За верен числен резултат – 1 т.

Оригинал в Архива: 25-II-1112.pdf · официални решения: a25-II-1112.pdf