НОА 2025, II кръг (областен), 7–8 клас — Задача 1. Две звезди

• А) $0^{\circ}$; Полярната звезда ($\alpha$ UMi) от съзвездието Малка мечка

• Б) Звезда B: $37{,}5^{\circ}$; звезда A: $52{,}5^{\circ}$ (по-точно $37{,}6^{\circ}$ и $52{,}4^{\circ}$)

• В) Звезда A — в 12:53, звезда B — в 18:52

  Грешка до 2 минути не се наказва.

• Г) 100 ly

Решение.

А) Наблюдателят е на екватора и има географска ширина 0°. Това може да се докаже по няколко различни начина.

Начин I: Небесният екватор пресича хоризонта в точката изток, съответно деклинацията на звезда B е 0°. Звезда B ще достигне зенита, а деклинацията на зенита е равна на географската ширина.

Начин II: Видимият път на звезда B от изток до зенит минава по голям кръг, а единственият денонощен паралел е небесният екватор. Само в геометрично представяне, в което земният екватор през наблюдателя (успореден на небесния екватор) е перпендикулярен на посоката, в която сочи главата на наблюдателя (зенит), пътят на звезда B ще бъде такъв.

Начин III: Ъгълът между небесния екватор (пътят на звезда B) и хоризонта е 90° – географската ширина. В случая този ъгъл е прав, т.е. географската ширина е 0°.

Земната ос сочи към северния небесен полюс. За наблюдател на екватора той е в точката север на хоризонта. Ярката звезда близо до северния небесен полюс наричаме Полярната звезда. Тя се намира в съзвездието Малка мечка (Ursa Minor), откъдето и идва обозначението ѝ α UMi.

Б) Времето от 20:00 до 22:30 часа поясно време е с продължителност 2,5 часа. Ако приемем, че Земята се завърта около оста си за приблизително 24 часа, то за това време звездите описват 360-градусов кръг по небето. Ъгъла $\alpha$, който ще изминат те за 2,5 часа, пресмятаме с пропорция:

Получаваме $\alpha = 37{,}5^{\circ}$. За наблюдател на екватора звезда B ще се отмести право нагоре с ъгъл $\alpha$, така че в 22:30 височината ѝ ще бъде 37,5°.

След като звезда B изгрява точно от изток и достига зенит, то звезда A, която в 20:00 е в зенит, е изгряла от изток около 6 часа по-рано. Тя ще продължи по своя път (наречен „денонощен паралел“) в същата посока, която е от зенита право надолу към точката запад. Съответно, височината ѝ ще намалее с 37,5° и в 22:30 ще бъде 90° – 37,5° = 52,5°.

Уточнение. Малко по-точно би било да се използва истинският период на завъртане на Земята около оста, който не е 24 h, а 23 h 56 min = 23,93 h. Така получаваме по-точната стойност $\alpha = 37{,}6^{\circ}$. Двете височини в 22:30 са съответно 37,6° и 52,4°. Подобна точност не се изисква от учениците.

В) За това подусловие вече не можем да закръглим периода на околоосно въртене на Земята до 24 h и трябва да ползваме истинската стойност – 23 h 56 min. Тъй като звездите видимо се завъртат по небето със същия период, а едно денонощие е 24 h, това означава, че всяка звезда повтаря положението си на следващия ден 4 минути по-рано спрямо предишния. След 17 дни положението ще се повтори 17 . 4 min = 68 min по-рано по часовника.

В дадения ден звезда A изгрява с време равно на 1/4 от периода за завъртане преди 20:00, тъй като разстоянието от точката изток до зенита е 90° или 1/4 от кръга. Тоест, звезда A изгрява в дадения ден 5 h 59 min преди 20:00 или в 14:01. Звезда B изгрява в 20:00. След 17 дни изгревите на двете звезди ще бъдат 68 min = 1 час и 8 минути по-рано, т.е. в 12:53 (за звезда A) и в 18:52 (за звезда B).

Указание. Грешка до 2 минути в крайния резултат да не се наказва.

Г) Тъй като звездите A и B са на 90° една от друга по небето, то ъгълът A – Слънце – B е прав. В този правоъгълен триъгълник $AB$ е хипотенуза и можем да намерим размера ѝ по Питагоровата теорема:

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

А) Общо – 3 т.

Б) Общо – 3 т.

В) Общо – 3 т.

Г) Общо – 3 т.