Съдържание

НОА 2025, II кръг (областен), 7–8 клас — Задача 3. Неутронни звезди и бели джуджета

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2025

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · НАЦИОНАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ · XXVIII НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ · Областен кръг на олимпиадата по астрономия · 23 февруари 2025 г. · Възрастова група VII-VIII клас · 23 февруари 2025 г. · 12 т.

Условие

Бялото джудже Сириус B е спътник на звездата Сириус. То има маса, която е равна на масата на Слънцето и радиус равен на 0,81% от слънчевия радиус.

Пресметнете:

А) Средната плътност на Сириус B. [2 т.]

Б) До какъв размер трябва да свием планетата Земя, за да придобие средна плътност равна на тази на бялото джудже. [2 т.]

Ракообразната мъглявината (известна още като M1) е остатък от избухването на свръхнова звезда, която е наблюдавана от Земята, през 1054 г. В центъра на мъглявината се намира бързо въртяща се неутронна звезда (пулсар), която също е останала от избухването на свръхновата. Тази неутронна звезда има радиус 10 km и маса 1,4 пъти по-голяма от тази на Слънцето. Тя извършва едно пълно завъртане около оста си за интервал от време 1/33 s. Пресметнете:

В) Средната плътност на неутронната звезда (пулсара) в Ракообразната мъглявина. [2 т.]

Г) Големината на линейната скорост, с която се върти точка от екватора на пулсара. Каква част от скоростта на светлината е тя? [3 т.]

Д) С каква скорост трябва да „подскочим“ от повърхността на пулсара, ако искаме да се откъснем завинаги от гравитационното му поле? Каква част от скоростта на светлината е тя? [3 т.]

Ако се намираме на повърхността на кълбовидно тяло с маса $M$ и радиус $R$ , то скоростта, която трябва да придадем на един обект на повърхността на тялото, за да напусне гравитационно му поле, се пресмята по формулата

v = \sqrt{\frac{2GM}{R}}.

Справочни данни:

Маса на Слънцето	$M_{\odot} = 2.10^{30}\ \mathrm{kg}$
Радиус на Слънцето	$R_{\odot} = 700\ 000\ \mathrm{km}$
Маса на Земята	$M_E = 6.10^{24}\ \mathrm{kg}$
Скорост на светлината	$c = 3.10^{8}\ \mathrm{m/s}$
Гравитационна константа	$G = 6{,}67.10^{-11}\ \mathrm{m^3kg^{-1}s^{-2}}$

Отговори

Решение

Решение.

А) Радиусът на бялото джудже е $r = 0{,}0081 R_{\odot} = 5\ 670\ \mathrm{km}$ . Обема му можем да намерим, използвайки формулата

V = \frac{4}{3}\pi r^3.

Тогава средната плътност на бялото джудже е

\rho = \frac{M_{\odot}}{V} = \frac{3M_{\odot}}{4\pi r^3} \approx \mathbf{2{,}6.10^{9}\ kg/m^3}.

Б) Ако означим търсения радиус с $R$ , то в сила е равенството

M_E = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho.

Оттук намираме

R = \sqrt[3]{\frac{3M_E}{4\pi\rho}} = r\sqrt[3]{\frac{M_E}{M_{\odot}}} \approx \mathbf{82\ km}.

В) Означаваме с $R_1$ радиуса на пулсара, а с $M_1$ – неговата маса. Аналогично на подусловие А), за плътността му $\rho_1$ получаваме:

\rho_1 = \frac{3M_1}{4\pi R_1^3} \approx \mathbf{6{,}7.10^{17}\ kg/m^3}.

Г) Обиколката на екватора на пулсара е $l = 2\pi R_1$ . Ако с $P$ означим периода му на въртене около оста, то търсената скорост е

v_1 = \frac{l}{P} = \frac{2\pi R_1}{P} \approx \mathbf{2{,}1.10^{6}\ m/s}.

Тогава имаме

\frac{v_1}{c} \approx \mathbf{6{,}9.10^{-3}}.

Д) Скоростта, с която трябва да подскочим от повърхността на пулсара, за да напуснем завинаги неговото гравитационно поле, е

v_2 = \sqrt{\frac{2GM_1}{R_1}} \approx \mathbf{1{,}9.10^{8}\ m/s}.

Получаваме, че

\frac{v_2}{c} \approx \mathbf{0{,}64}.

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

А) За правилен израз за средната плътност на бялото джудже – 1 т.

За правилна числена стойност – 1 т.

Б) За правилен израз за търсения радиус – 1 т.

За правилна числена стойност – 1 т.

В) За правилен израз за средната плътност на пулсара – 1 т.

За правилна числена стойност – 1 т.

Г) За правилен израз за линейна скорост на точка от екватора на пулсара – 1 т.

За правилна числена стойност – 1 т.

За правилно пресмятане каква част от скоростта на светлината е тази скорост – 1 т.

Д) За правилен израз за скоростта на избягване от повърхността на пулсара и правилна числена стойност – 2 т.

За правилно пресмятане каква част от скоростта на светлината е тази скорост – 1 т.

Оригинал в Архива: 25-II-78.pdf · официални решения: a25-II-78.pdf