Съдържание

НОА 2025, II кръг (областен), 9–10 клас — Задача 1. Златният астероид

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2025

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · НАЦИОНАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ · XXVIII НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ · Областен кръг на олимпиадата по астрономия · 23 февруари 2025 г. · Възрастова група IX-X клас · 23 февруари 2025 г. · 12 т.

Условие

Най-яркият астероид – Веста – има диаметър от 526 km, който е приблизително равен на размера на България по диагонал. Нека да си представим сферичен астероид, съставен изцяло от чисто злато, но с размерите на Веста. Плътността на златото е 19,3 g/cm³.

Справочни данни:
Гравитационна константа $G = 6{,}67 \cdot 10^{-11}\ \mathrm{m^3 kg^{-1} s^{-2}}$

А) Оказва се, че златният астероид би бил по-масивен дори от най-големия астероид в Главния пояс – Церера. Пресметнете колко пъти по-масивен ще бъде той. Масата на Церера е $9{,}4 \cdot 10^{20}\ \mathrm{kg}$ . [3 т.]

Б) Гравитационното ускорение на повърхността на златния астероид би било много по-високо от това на всички реални астероиди. Пресметнете неговата стойност. Назовете някой обект в Слънчевата система със сходно гравитационно ускорение на повърхността. [3 т.]

В) Представете си, че сте в станция на ниска кръгова орбита около златния астероид, така че той да има ъглов размер 90° по небето за вас. За какво време правите обиколка около астероида? Използвайте III закон на Кеплер:

\frac{r^3}{T^2} = \frac{GM}{4\pi^2}.

В тази формула $r$ е радиус на орбитата, $T$ е орбиталният период, а $M$ е масата на централното тяло. [3 т.]

Г) Защо според вас няма златни астероиди в действителност? [3 т.]

Решение

Решение.
А) Обемът на сферичния златен астероид с радиус $R_G = (526/2) = 263$ km e

V_G = \frac{4}{3}\pi R_G^3.

Ако плътността му е $\rho_G = 19,3\ \mathrm{g/cm^3} = 19300\ \mathrm{kg/m^3}$ , то масата му е

M_G = \rho_G V_G = \frac{4}{3}\pi R_G^3 \rho_G = 1,47\cdot 10^{21}\ \mathrm{kg}.

Ако разделим тази стойност на масата на Церера $9,4\cdot 10^{20}$ kg, получаваме, че златният астероид е 1,56 пъти по-масивен от Церера.

Б) Гравитационното ускорение на повърхността на златния астероид пресмятаме по формулата

a_G = \frac{GM_G}{R_G^2} = \mathbf{1{,}42\ m/s^2}.

Тук използвахме гравитационната константа $G = 6,67\cdot 10^{-11}\ \mathrm{m^3/(kg\cdot s^2)}$ .
Полученото гравитационно ускорение е много по-голямо спрямо това на повърхността на астероидите. Сравнимо е с това на повърхността на Луната (1,62 m/s²), Йо (1,80 m/s²), Европа (1,31 m/s²), Ганимед (1,43 m/s²), Калисто (1,23 m/s²), Титан (1,35 m/s²).

В) Ако ъгловият размер на златния астероид е 90°, то гледано от спътника $S$ , ъгловото разстояние от центъра му $O$ до точка $H$ на видимия ръб е 45°. Зрителният лъч $SH$ е допирателен спрямо сферичния астероид. Тогава отсечката $SH$ е перпендикулярна на $OH$ и триъгълникът $HSO$ има ъгли 90°, 45°, 45°. Радиусът на орбитата е

r = OS = \sqrt{OH^2 + SH^2} = R_G\sqrt{2} = 371{,}9\ \mathrm{km}.

Заместваме в III закон на Кеплер

\frac{r^3}{T^2} = \frac{GM_G}{4\pi^2}.

и получаваме орбитален период на спътника $T = 4550\ \mathrm{s} = \mathbf{75{,}8\ min}$ .

Г) Най-често срещаните елементи в Слънчевата система са водород (70,6% масова част), хелий (27,5%), кислород (0,96%), въглерод (0,30%), неон (0,16%), желязо (0,12%), азот (0,11%), силиций (0,07%), магнезий (0,06%) и др. Тези обилия (процентни съдържания) са от същия порядък като обилията на съответните елементи във Вселената. Механизмите за планетно формиране обясняват как в ранната Слънчева система леките елементи (водород и хелий) почти са се отделили и са се кондензирали големи количества въглерод, желязо, силиций и леки метали, за да формират земеподобни планети и астероиди.
Златото, обаче, е много по-рядък елемент от изброените. Например обилието му е около 1 милион пъти по-малко от това на силиция и желязото. Няма известен механизъм, при който по естествен път при планетно формиране останалите елементи да се отделят и да остава чисто злато. Затова няма златни астероиди.
Има астероиди с голямо златно обилие. Астероидът 16 Psyche съдържа, според някои оценки, около 200 милиарда тона злато. Но дори за този астероид златото е едва 0,001% от масата.

Критерии за оценяване (общо 12 т.):
А) Общо – 3 т.
Б) Общо – 3 т.
В) Общо – 3 т.
Г) Общо – 3 т.

Оригинал в Архива: 25-II-910.pdf · официални решения: a25-II-910.pdf