Съдържание

НОА 2025, IV кръг, Младша възраст — Задача 1. Астероиди в опозиция

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2025

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НАЦИОНАЛНА КОМИСИЯ ЗА ОРГАНИЗИРАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО АСТРОНОМИЯ ХХVIII НАЦИОНАЛНА ОЛИМПИАДА ПО АСТРОНОМИЯ Подборен кръг, 12 юли 2025 г., Варна, теоретичен тур Младша възраст · 12 юли 2025 г. · 15 т.

Условие

Поради няколко отделни фактора астероидите от Главния пояс са много по-ярки в опозиция, отколкото в други конфигурации. За да планираме наблюденията им, е важно да пресмятаме ъгловата им скорост спрямо звездите. Ъгловата скорост спрямо звездите на астероид в опозиция обикновено не е равна на ъгловата му скорост по орбитата, тъй като при пресмятане на ъглови скорости по небето разглеждаме въртене около наблюдателя на Земята, а не около Слънцето.

Ще разглеждаме само астероиди на кръгова орбита около Слънцето, обикалящи в същата посока като Земята в равнината на земната орбита.

А) Колко дъгови секунди изминава такъв астероид спрямо звездите за един час, в опозиция, ако радиусът на орбитата му е 3.3 au? Скоростта на Земята по орбитата ѝ е 29.8 km/s. [3 т.]

Б) Нека да си представим друг такъв астероид със следното свойство: Намираме се на повърхността на астероида в момент на опозиция спрямо Земята. За нас центърът на Земята, центърът на Слънцето и дадена звезда са в една и съща посока. В този момент Слънцето и Земята се отдалечават от звездата в противоположни посоки по небето, но с една и съща ъглова скорост. Покажете, че орбиталният период на астероида около Слънцето в години е $\varphi^3$ , където числото $\varphi = 1.6180\ldots$ е златното сечение (решението на уравнението $\varphi^2 = \varphi + 1$ ). [5 т.]

В) В Главния пояс ли е астероидът от подусловие Б)? Аргументирайте се. [1 т.]

Измежду големите астероиди този с най-близка орбита до астероида в Б) e 214 Aschera.

Г) Астероидът 214 Aschera има абсолютна звездна величина $H = 9.2$ , тоест ако го гледахме от Слънцето и се намираше на земната орбита, звездната му величина би била 9.2 mag. Каква е звездната му величина в опозиция? [3 т.]

Д) Астероидът 214 Aschera може да бъде разгледан като триосен елипсоид с отношение на полуосите $a : b : c = 2.27 : 1.83 : 1$ , среден радиус $R = (abc)^{1/3} = 11.6\ \mathrm{km}$ и период на въртене $T_{ROT} = 6.84\ \mathrm{h}$ около малката ос ( $c$ ). Каква е максималната скорост на точка от повърхността на астероида спрямо оста на въртене? [3 т.]

Справочни данни:

Астрономическа единица

1\ \mathrm{au} = 1{,}496.10^{8}\ \mathrm{km}

Отговори

Решение

Решение.

А) Ъгловата скорост по небето е равна на тангенциалната скорост $v_T$ спрямо наблюдателя (в случая – Земята), разделена на разстоянието (което в опозиция е $r_A - r_E = 3.3\ \mathrm{au} - 1\ \mathrm{au} = 2.3\ \mathrm{au}$ ):

\omega_1 = \frac{v_T}{r - r_E}.

В опозиция скоростите на Земята $v_E$ и на астероида $v_A$ са успоредни една спрямо друга и перпендикулярни спрямо направлението Земя-астероид. Следователно $v_T = v_E - v_A$ . Кръговата скорост на астероида е

v_A = \sqrt{\frac{GM_{\odot}}{r}} = \frac{v_E}{\sqrt{3.3}} = 16.4\ \mathrm{km/s}.

Заместваме и получаваме

\omega_1 = \frac{v_E - v_A}{r_A - r_E} = 3.893 \times 10^{-8}\ \mathrm{rad/s} = 28.9''/\mathrm{h}.

За един час астероидът в опозиция изминава 28.9″.

Б) Да означим радиуса на орбитата на астероида с $r$ , а скоростта по тази орбита с $v$ . Ъгловата скорост на Земята спрямо звездите, гледано от астероида, е равна на ъгловата скорост $\omega_1' = \frac{v - v_E}{r - r_E}$ на астероида спрямо звездите, гледано от Земята, в опозиция. А ъгловата скорост на Слънцето спрямо звездите, гледано от астероида, е равна на ъгловата скорост $\omega_2' = \frac{v}{r}$ . на астероида спрямо звездите, гледано от Слънцето. Казано е по условие, че $\omega_1' = \omega_2'$ , откъдето

\frac{v_E - v}{r - r_E} = \frac{v}{r} \ \Rightarrow\ \frac{v_E}{v} - 1 = 1 - \frac{r_E}{r}.

Прилагаме формулата за кръгова скорост и стигаме до

\sqrt{\frac{r}{r_E}} - 1 = 1 - \frac{r_E}{r}

Полагаме $r/r_E \equiv k$ , след което

\sqrt{k} - 1 = 1 - \frac{1}{k}.

Дясната страна се разлага на $\frac{k-1}{k} = \frac{(\sqrt{k}-1)(\sqrt{k}+1)}{k}$ , следователно

k = \sqrt{k} + 1.

Знаем, че златното сечение е положителното число, за което е вярно $\varphi^2 = \varphi + 1$ . Сравняваме това с горното уравнение и заключаваме, че $\sqrt{k} = \varphi = 1.6180$ , тоест $k = \varphi^2 = 2.6180$ . Оттук радиусът на орбитата на астероида е 2.618 au.

Остава да намерим орбиталния период с III закон на Кеплер:

\frac{T}{1\ \mathrm{yr}} = \left(\frac{r}{r_E}\right)^{3/2} = (\varphi^2)^{3/2} = \boldsymbol{\varphi^3}.

Действително периодът на астероида е $\varphi^3$ години.

В) Почти всички астероиди в Главния пояс са с голяма полуос в интервала 1.8 – 4.0 au. Астероид с радиус на орбитата 2.618 au попада в Главния пояс (да).

Г) Лъчистият поток, който астероидът създава на земното небе, отслабва с разстоянието $r$ Слънце-астероид на 2-ра степен (преди отражението) и с разстоянието $d$ астероид-Земя на 2-ра степен (след отражението). Той също така е пропорционален на коефициент, който зависи от фазовия ъгъл (ъгълът Слънце-астероид-Земя), но ако сравняваме астероида в опозиция с друга конфигурация в опозиция, този коефициент се съкращава.

Прилагаме формулата на Погсън, като сравняваме астероид в опозиция със звездна величина $m$ и същия астероид на разстояние $r_E = 1\ \mathrm{au}$ и от наблюдателя, и от Слънцето, при фазов ъгъл 0 (при тази ситуация звездната му величина е $H$ ):

m - H = -2.5 \lg\left(\frac{r_E^2 r_E^2}{r^2 (r - r_E)^2}\right).

Тук ползвахме, че разстоянието Слънце-астероид е $r$ , а разстоянието наблюдател-астероид е $r - r_E$ . Ако минем в астрономически единици и преработим уравнението, получаваме

m = H + 5 \lg\big(r(r - r_E)\big),

m = H + 5 \lg\big(r(r - 1)\big) = 9.2 + 5 \lg(2.618 \times 1.618) = \mathbf{12.3}.

Д) Заместваме отношението на полуосите $a : b : c = 2.27 : 1.83 : 1$ във формулата $R = (abc)^{1/3} = 11.6\ \mathrm{km}$ , за да пресметнем полуосите:

abc = R^3,

(2.27 \times 1.83) c^3 = R^3,

c = \frac{R}{(2.27 \times 1.83)^{1/3}} = 7.22\ \mathrm{km}.

Ако астероидът се върти около c, то максималното отдалечаване на точка от повърхността му от оста на въртене е

a = 2.27 c = 16.4\ \mathrm{km}.

При ротационен период $T_{\mathrm{rot}} = 6.84\ \mathrm{h}$ максималната скорост на повърхността на астероида при въртене е

v_{\mathrm{rot}} = \frac{2\pi a}{T_{\mathrm{rot}}} = 15.1\ \mathrm{km/h} = \mathbf{4.2\ m/s}.

Александър Куртенков

Критерии за оценяване (общо 15 т.):

А) Общо – 3 т.

Б) Общо – 5 т. (За вярно изпълнено числено решение – поне 4 т.)

В) Общо – 1 т.

Забележка. В случай, че участникът не е решил Б), може да вземе наготово периода от $\varphi^3$ години и да приложи III закон на Кеплер. Тогава следва да получи 2 т.: 1 т. за В) и 1 т. за III закон на Кеплер към Б).

Г) Общо – 3 т.

Д) Общо – 3 т.

Оригинал в Архива: 25-IV-teorML.pdf · официални решения: a25-IV-teorML.pdf