НОА 2025, IV кръг, Старша възраст — Задача 1. Две планети

Решение.

А) Интервалите от време, през които са получени данните в таблицата, се равняват на 52/260=1/5 част от годината за Умната планета. Използваме препоръчания ни мащаб и начертаваме по средата на листа милиметрова хартия орбитата на Умната планета около Могъщата звезда във вид на окръжност с радиус 25 mm. С помощта на транспортир и като имаме предвид, че 360°/5=72°, разделяме окръжността на 5 равни части и обозначаваме това с точки, които ще представляват положенията на Умната планета в моментите на измерванията, дадени в таблицата. Избираме една от точките за начална.

Да приемем, че към нас е насочен северният полюс на Умната планета и тя обикаля около Могъщата звезда в същата посока, в която се върти около оста си, т.е. обратно на часовниковата стрелка. Същото предполагаме и за Дивата планета. Видимото ъглово отстояние на Дивата планета от звездата за набюдател на Умната планета означаваме с $\Delta\lambda$. Представяме си наблюдател, който стои на повърхността на Умната планета с гръб към нас в положение, при което за него е пладне. За този наблюдател надясно е запад, а наляво е изток. Свързваме Умната планета и звездата с права линия (това е радиус-векторът на планетата). От нея с център в Умната планета отмерваме ъгъл $\Delta\lambda$ надясно, ако отклонението е в посока на запад (W), или наляво, ако отклонението е в посока на изток (E). Прекарваме лъч от Умната планета под ъгъл $\Delta\lambda$ към нейния радиус-вектор. По този лъч отмерваме в съответния мащаб разстоянието до Дивата планета и я нанасяме с точка. Повтаряме същата процедура за следващото измерване, като не забравяме да го направим за следващото положение на Умната планета по нейната орбита, което е на 72° в посока, обратна на часовниковата стрелка спрямо предходното положение. Така, като използваме всички данни от таблицата, построяваме положенията на Дивата планета. Прекарваме през тях плавна линия и очертаваме елиптичната орбита на планетата. Резултатът е показан на Фигура А1.

Б) Първо, можем да забележим, че положенията на Дивата планета при първото и при 23-тото измерване почти точно съвпадат. Така определяме орбиталния период на Дивата планета в единици планетни дни или в години за Умната планета:

Начертаваме голямата ос на орбитата на Дивата планета и я измерваме. Получаваме 133 mm. Голямата полуос на орбитата на тази планета се равнява на 133/2 = 66.5 мерки.

В) Измерваме разстоянията от Могъщата звезда до Дивата планета в перицентъра и в апоцентъра на нейната орбита. Те са съответно

Когато Дивата планета е в перицентъра, Могъщата звезда създава върху нея осветеност

където $L$ е светимостта на звездата. Общата лъчиста енергия, която попада върху Дивата планета, ще бъде

където $S$ е площта на напречното сечение на планетата. Дивата планета ще отрази част от това лъчение към Умната планета и ще създаде върху нея осветеност

където $r_0$ е радиусът на орбитата на Умната планета, а $r_p - r_0$ е разстоянието от Умната планета до Дивата планета, когато последната е в перицентъра на орбитата си и едновременно с това в опозиция за наблюдателите от Умната планета. Тук ние не знаем точните закономрности при отразяването и разсейването на светлината, попадаща върху кълбовидно тяло, следователно не знаем какъв коефициент трябва да поставим пред общия израз от формулата. Затова вместо знака за равенство използваме знака за пропорционалност.

Осветеността, създавана върху Умната планета от Дивата планета в апоцентъра и в опозиция, ще се получи по съвсем аналогична формула:

Отношението на двете осветености ще бъде

По-нататък от формулата на Погсън за разликата мужду видимите звездни величини на Дивата планета в двата случая намираме:

Г) В перицентъра и в опозиция Дивата планета създава осветеност $E_p$ за Умната планета. Като я умножим по площта на обектива на астрокамерата, ще получим общата лъчиста енергия, която преминава през обектива за единица време:

Тук не отчитаме загубите на лъчение, причинени от отражението и поглъщането в обектива и от оптическите аберации.

Да предположим, че радиусът на Дивата планета е $R$. Когато тя е в перицентъра на орбитата си и в опозиция, нейният видим ъглов диаметър, изразен в радиани, ще бъде

Линейния размер на изображението на планетата във фокалната плоскост на обектива на камерата намираме по формулата $d_p = \delta_p F_p$. Лъчистата енергия, преминала през обектива на камерата, ще се разпредели по площта на това изображение и ще ни послужи като мярка за неговата повърхностна яркост:

За яркостта на изображението, получено когато планетата е в опозиция и в апоцентъра, можем да получим аналогична формула. Накрая можем да съставим отношението на двете яркости:

Като заместим в него всички получени по-горе алгебрични изрази за съответните величини и направим възможните съкращения, намираме

По условие повърхностните яркости на планетата в двата случая трябва да са еднакви. Оттук получаваме

Следователно отношението на фокусните разстояния на камерите трябва да бъде

Заключението от последните две подусловия е, че общият видим блясък на Дивата планета зависи както от нейното разстояние до наблюдателите, в случая до Умната планета, така и от разстоянието ѝ до звездата, която я огрява. Повърхностната яркост на изображението на Дивата планета обаче зависи от нейното разстояние до Могъщата звезда, но не и от разстоянието ѝ до наблюдателите – жителите на Умната планета.

Ева Божурова

Критерии за оценяване (общо 20 т.):

А) За правилен метод за построяване на орбитата на Дивата планета – 3 т. За правилно графично изпълнение – 6 т.

Б) За определяне на голямата полуос и орбиталния период – 3 т.

В) За правилен начин за пресмятане на разликата в звездните величини – 3 т. За верен числен отговор – 1 т.

Г) За правилен подход при пресмятането на отношението на фокусните разстояния – 3 т. За верен числен отговор – 1 т.