Съдържание

НОА 2026, I кръг (общински), 11–12 клас — Задача 3. Екзопланета с ексцентрична орбита

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2026

XXIX Национална олимпиада по астрономия, общински кръг 2025-2026 г., възрастова група 11-12 клас · 10 т.

Условие

Екзопланета обикаля около звезда с маса 0,73 слънчеви маси, радиус 0,66 слънчеви радиуса и фотосферна температура 4700 K по орбита с период 87 години и ексцентрицитет 0,44.

А) Какво минимално разстояние до звездата, в au, достига екзопланетата? [3 т.]

Б) Каква е минималната скорост на екзопланетата по орбитата ѝ? [2 т.]

В) Колко пъти по-слаба е звездата по небето на екзопланетата спрямо Слънцето по земното небе? Отговорете за апоастрий, когато звездата е най-далече от планетата. [3 т.]

Г) Каква е минималната лъчева (радиална) скорост на звездата спрямо планетата? [2 т.]

Отговори

Решение

А) Намираме голямата полуос на планетната орбита като прилагаме III Закон на Кеплер с размерности au, yr и $M_\odot$ :

\frac{a^3}{T^2} = M

Получаваме голяма полуос $a = (0{,}73\cdot 87^2)^{1/3}\ \mathrm{au} = 17{,}68\ \mathrm{au}$ .

Използваме ексцентрицитета на планетната орбита $e = 0{,}44$ , за да пресметнем разстоянието в периастрий (минималното разстояние):

r_P = a(1-e) = 9{,}9\ \mathrm{au}

[3т.]

Б) Скоростта на планетата на разстояние $a$ от звездата е

v_0 = \sqrt{\frac{GM}{a}} = 6{,}05\ \mathrm{km/s}

Скоростта на екзопланетата по орбитата ѝ е минимална в апоастрий:

v_A = v_0\sqrt{\frac{1-e}{1+e}} = 3{,}77\ \mathrm{km/s}

[2т.]

В) Пресмятаме светимостта на звездата по закона на Стефан-Болцман като сравняваме със Слънцето

\frac{L}{L_\odot} = \left(\frac{R}{R_\odot}\right)^2\left(\frac{T}{T_\odot}\right)^4 = (0{,}66)^2\left(\frac{4700}{5770}\right)^4 = 0{,}192

Разстоянието планета-звезда в апоастрий е

r_A = a(1+e) = 25{,}46\ \mathrm{au}

Лъчистият поток, който звезда със светимост $L$ създава на разстояние $r$ на единица площ, перпендикулярна на лъчите е

\Phi = \frac{L}{4\pi r^2}

Сравнявайки потока, който Слънцето създава на Земята с този, който звездата създава на планетата, получаваме

\frac{\Phi_\odot}{\Phi} = \left(\frac{L_\odot}{L}\right)\left(\frac{r_A}{1\,\mathrm{au}}\right)^2 = 3380

Звездата в апоастрий е около 3400 пъти по-слаба, гледано от планетата, спрямо Слънцето на земното небе.

[3т.]

Г)

Елипса с означени полуоси a и b, фокална полухорда l, вектори v0, v, v_R min и v_R max. — Елиптичната орбита с периастрий P и апоастрий A, фокалната полухорда $l$ , ъгълът $\theta$ между радиус-вектора и скоростта и точките на минималната и максималната радиална скорост.

I начин: Може да знаете наизуст, че минимумът и максимумът на радиалната скорост се достигат в двете точки, в които орбитата на планетата пресича т. нар. фокална хорда – хордата към елипсата, която минава през звездата и е перпендикулярна на голямата ос. Размерът на фокалната полухорда (половината на фокалната хорда) е

l = a(1-e^2)

От закона за запазване на енергията (ЗЗЕ) имаме

v = \sqrt{GM\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right)} = v_0\sqrt{\left(\frac{2a}{r} - 1\right)}

Замествайки за фокалната полухорда получаваме орбитална скорост

v = v_0\sqrt{\left(\frac{2a}{a(1-e^2)} - 1\right)} = v_0\sqrt{\frac{1+e^2}{1-e^2}}

Според закона за запазване на момента на импулса (ЗЗМЕ) изразът $vr\sin\theta = \mathrm{const}$ във всяка точка по орбитата, където $\theta$ е ъгълът между направлението звезда-планета и вектора на скоростта на планетата $v$ . Тъй като в едната пресечна точна на малката ос с орбитата планетата е на разстояние $a$ от звездата, в тази точка $\sin\theta = b/a = (1-e^2)^{1/2}$ . Следователно, за всяка точка по орбитата важи

vr\sin(\theta) = v_0 a\sqrt{1-e^2}

Замествайки за фокалната полухорда получаваме

va(1-e^2)\sin(\theta) = v_0 a\sqrt{1-e^2}

v\sqrt{(1-e^2)}\sin(\theta) = v_0

Замествайки израза за орбиталната скорост, получаваме

v_0\sqrt{\frac{1+e^2}{1-e^2}}\sqrt{1-e^2}\sin(\theta) = v_0

\sin(\theta) = \frac{1}{\sqrt{1+e^2}}

Повдигаме на квадрат

\sin^2(\theta) = \frac{1}{1+e^2}

\cos^2(\theta) = 1 - \sin^2(\theta) = 1 - \frac{1}{1+e^2} = \frac{e^2}{1+e^2}

\cos(\theta) = \pm\frac{e}{\sqrt{1+e^2}}

Радиалната скорост на планетата спрямо звездата е

v_R = -v\cos(\theta)

Замествайки за фокалната полухорда получаваме израз за минималната радиална скорост:

v_R = -v_0\sqrt{\frac{1+e^2}{1-e^2}}\left(\frac{e}{\sqrt{1+e^2}}\right) = -v_0\frac{e}{\sqrt{1-e^2}}

Заместваме с $v_0 = 6{,}05\ \mathrm{km/s}$ и $e = 0{,}44$ и получаваме $v_R = -2{,}96\ \mathrm{km/s}$ .

[2т.]

II начин:

Използвайки горните формули, можем да изведем сами, че минимумът и максимумът на радиалната скорост са на фокалната хорда.

Ако радиалната скорост има минимална или максимална стойност, то максимална стойност ще има квадратът ѝ:

v_R^{\,2} = v^2\cos^2(\theta) = v^2(1 - \sin^2(\theta))

Заместваме тук израза от ЗЗМЕ

\sin^2(\theta) = \left(\frac{v_0 a}{vr}\right)^2 (1-e^2)

Получаваме

v_R^{\,2} = v^2\left(1 - \left(\frac{v_0 a}{vr}\right)^2 (1-e^2)\right)

v_R^{\,2} = v^2 - v_0^{\,2}\left(\frac{a}{r}\right)^2 (1-e^2)

Заместваме тук израза от ЗЗЕ

v^2 = v_0^{\,2}\left(\frac{2a}{r} - 1\right)

Получаваме

v_R^{\,2} = v_0^{\,2}\left(\frac{2a}{r} - 1\right) - v_0^{\,2}\left(\frac{a}{r}\right)^2 (1-e^2)

Полагаме $u = a/r$

\frac{v_R^{\,2}}{v_0^{\,2}} = 2u - 1 - u^2(1-e^2)

Трябва да максимизираме този израз. Извеждаме точен квадрат:

\frac{v_R^{\,2}}{v_0^{\,2}} = -\left(u\sqrt{1-e^2}\right)^2 + 2u\sqrt{1-e^2}\,\frac{1}{\sqrt{1-e^2}} - \left(\frac{1}{\sqrt{1-e^2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{1-e^2}}\right)^2 - 1

\frac{v_R^{\,2}}{v_0^{\,2}} = -\left(u\sqrt{1-e^2} - \frac{1}{\sqrt{1-e^2}}\right)^2 + \frac{1}{1-e^2} - 1

\frac{v_R^{\,2}}{v_0^{\,2}} = \frac{e^2}{1-e^2} - \left(u\sqrt{1-e^2} - \frac{1}{\sqrt{1-e^2}}\right)^2

Този израз има максимална стойност, когато стойността в скобите е 0, т.е. когато

u\sqrt{1-e^2} = \frac{1}{\sqrt{1-e^2}}

u = \frac{1}{1-e^2} = \frac{a}{r}

r = a(1-e^2)

Това е размерът на фокалната полухорда $l$ . Когато изразът в скобите е 0, получаваме

\frac{v_R^{\,2}}{v_0^{\,2}} = \frac{e^2}{1-e^2}

v_R = \pm v_0\frac{e}{\sqrt{1-e^2}}

Това са минималната и максималната възможна радиална скорост. Заместваме с $v_0 = 6{,}05\ \mathrm{km/s}$ и $e = 0{,}44$ и получаваме $v_R = -2{,}96\ \mathrm{km/s}$ .

[2т.]

Критерии за оценяване (общо 10 т.):

А) За получаване на минималното разстояние звезда – планета – 3 т.

Б) За получаване на минималната скорост на планетата по орбитата – 2 т.

В) За получаване на отношението на потоците – 3 т.

Г) За получаване на минималната радиална скорост – 2 т.

Оригинал в Архива: 26-I-1112.pdf · официални решения: a26-I-1112.pdf