НОА 2026, I кръг (общински), 11–12 клас — Задача 1. Делтапланер над Бургас

• А) $s = \frac{h}{\mathrm{tg}(H)} = \frac{123\ \mathrm{m}}{\mathrm{tg}(70{,}93^\circ)} = 42{,}5\ \mathrm{m}$

• Б) Колар (Auriga)

  Зенитът има $\alpha = 6^{\mathrm{h}}$, $\delta = +42{,}5^\circ$ — в средата на съзвездието Колар (Auriga), недалече от звездата Менкалинан.

• В) 15 февруари или 25 октомври

  От $\sin^2(H) = 1/3$ следва $H = 35{,}26^\circ$, $\delta = -12{,}24^\circ$, $x = 32{,}2^\circ \approx 33$ дни от равноденствие.

А) Слънцето е на максимална височина над хоризонта за Бургас, т.е. е над точката юг. Наско вижда делтапланера в тази посока, директно над Сашо, т.е. е право на север от Сашо. Делтапланерът се движи на север, успоредно на отсечката Сашо – Наско и на височина $h = 123$ метра над нея (Сашо и Наско са на плажа, т.е. на морското равнище).

Географската ширина е $\varphi = +42{,}5^\circ$. Най-високата точка от небесния екватор, гледано от Бургас, е на височина $90^\circ - \varphi = 47{,}5^\circ$. Ако датата е 21 юни, деклинацията на Слънцето е $+23{,}43^\circ$, т.е. Слънцето е на такова ъглово разстояние над най-високата точка от небесния екватор, на височина $H = 47{,}5^\circ + 23{,}43^\circ = 70{,}93^\circ$ над хоризонта. Разстоянието между Сашо и Наско е

[4т.]

Б) Делтапланерът е в зенита за Сашо, а Слънцето е в горна кулминация. Ректасцензията на зенита ще бъде равна на ректасцензията на Слънцето, която на 21 юни е $6^{\mathrm{h}}$. Деклинацията на зенита е равна на географската ширина, която е $+42{,}5^\circ$. Точката с екваториални координати $\alpha = 6^{\mathrm{h}}$, $\delta = +42{,}5^\circ$ е в средата на съзвездието Колар (Auriga), недалече от звездата Менкалинан. [2т.]

В) Ъгловата скорост е равна на тангенциалната скорост, разделена на разстоянието

Делтапланерът се движи със скорост $v$, перпендикулярно на направлението към Сашо, т.е. изцяло тангенциално за Сашо. Разстоянието от Сашо е $SD = h$, т.е. ъгловата скорост на делтапланера, гледано от Сашо е

Тангенциалната скорост на делтапланера, гледано от Наско е $v_T = v\sin(H)$. Разстоянието на делтапланера от Наско е $ND = h/\sin(H)$. Ъгловата скорост на делтапланера, гледано от Наско ще бъде

Тъй като

получаваме

Най-високата точка от небесния екватор е на височина $90^\circ - \varphi = 47{,}5^\circ$, т.е. деклинацията на Слънцето ще е $\delta = 35{,}26^\circ - 47{,}5^\circ = -12{,}24^\circ$. Ако разстоянието по еклиптиката от Слънцето до най-близкото равноденствие е $x$, то

Тук $\varepsilon = 23{,}43^\circ$ е ъгълът между еклиптиката и небесния екватор. Получаваме $x = 32{,}2^\circ$. При равномерно движение на Слънцето по еклиптиката това разстояние се изминава за около 33 дни. Тъй като деклинацията е отрицателна, възможните дати са 33 дни преди пролетното равноденствие и 33 дни след есенното равноденствие, т.е. 15 февруари или 25 октомври. [4т.]

Критерии за оценяване (общо 10 т.):

А) За пресмятане на разстоянието между наблюдателите – 4 т.

Б) За посочване на правилното съзвездие и съображения – 2 т.

В) 4 т.

За пресмятане на височината на Слънцето – 2 т.

За получаване на датата – 2 т.