НОА 2026, I кръг (общински), 7–8 клас — Задача 3. Малкият принц и фенерджията

• А) Чертаят се допирателните $a$ и $b$ — хоризонтите на видимост на двата вулкана — и розата се премества от положение 1 в положение 2, под двата хоризонта.

• Б) $R = \frac{h \times 2{,}33}{2} \approx 1{,}4\ \mathrm{m}, \qquad S = 4\pi R^2 \approx 24{,}6\ \mathrm{m^2}$

  Радиусът на астероида е $R \approx 1{,}4$ m. Площта е сравнима с площта на просторна стая — напр. стая $4\ \mathrm{m} \times 5\ \mathrm{m}$ има площ $20\ \mathrm{m^2}$, т.е. малко по-малка.

• В) Запалва фенера в деня на есенното равноденствие — около 23 септември, и го гаси в деня на пролетното равноденствие — около 21 март.

А) Начертаваме допирателните, обозначени долу с $a$ и $b$, които са хоризонтите на видимост на двата вулкана. Преместваме розата от положение 1 в положение 2. Измерванията по чертежа показват, че нейното цветче ще бъде под двата хоризонта и няма да вижда вулканите. Вулканът, който се почиства в момента ог Малкия принц, определено ще си остане под хоризонта за розата.

Това не е единственото място, от което розата няма да вижда нито един от вулканите, но е най-простото решение на задачата и тук следва да се приема за достатъчно. По принцип около всеки от трите вулкана може да се начертае по една окръжност, която ограничава областта от повърхността на астероида, откъдето този вулкан може да се види от наблюдател с височината на розата. Решение на задачата би била всяка точка от повърхността на астероида, която не се покрива от нито една от тези области на видимост, дефинирани за трите вулкана. Но това уточнение не се изисква от участниците в олимпиадата. Ако бъдат коректно посочени съображения от този вид, при оценяването следва да се даде една допълнителна бонус точка.

Б) Измерваме на рисунката диаметъра на астероида и височината на Малкия принц. Пресмятането показва, че диаметърът на астероида е 2,33 пъти по-голям от ръста h = 1,2 m на Малкия принц и следователно радиусът на астероида е:

Площта на повърхността на астероида ще бъде $S = 4\pi R^2 \approx 24{,}6\ \mathrm{m^2}$. Това е стойност сравнима с площта на една просторна стая за живеене. Примерно, ако стаята представлява правоъгълник със страни 4 m и 5 m, то нейната площ ще бъде $4 \times 5 = 20\ \mathrm{m^2}$.

В) На Северния полюс Слънцето залязва в края на полярния ден и началото на полярната нощ. Това се случва в деня на есенното равноденствие, около 23 септември, и тогава фенерджията трябва да запали своя фенер. Изгревът на Слънцето е в деня на пролетното равноденствие, около 21 март, и тогава фенерът трябва да се загаси.

Критерии за оценяване (общо 10 т.):

А) 4 т.

За правилна теоретична идея за решението – 2 т.

За правилно изпълнение на геометричните построения и определяне на новото място на розата – 2 т.

Б) 4 т.

За правилни измервания по рисунката и пресмятания – 2 т.

За правилен числен резултат за площта на астероида – 1 т.

За определяне и сравнение с площта на стаята – 1 т.

В) За правилен отговор – 2 т.