НОА 2026, I кръг (общински), 9–10 клас — Задача 1. Слънцето или Земята?

• А) $F_1 = \frac{G M_{\mathrm{З}} M_{\mathrm{Л}}}{r_1^2} = 1{,}98.10^{20}\ \mathrm{N},\qquad F_2 = \frac{G M_{\mathrm{C}} M_{\mathrm{Л}}}{r_2^2} = 4{,}34.10^{20}\ \mathrm{N}$

  Двете сили се пресмятат по закона за всеобщото привличане; при $F_2$ разстоянието Земя-Луна се пренебрегва спрямо радиуса на земната орбита.

• Б) $\frac{F_2}{F_1} \approx 2{,}2$

  Решението дава обратното отношение $F_2/F_1 \approx 2{,}2$ (т.е. $F_1/F_2 \approx 0{,}46$). Слънцето привлича Луната с по-голяма гравитационна сила.

• В) Земята и Луната обикалят около Слънцето свързани като една система — по орбитата на Земята се движи центърът на масите. Гравитационните ускорения, които Слънцето придава на Земята и на Луната, са много близки; дори максималната разлика между тях е значително по-малка от ускорението, което Земята придава на Луната, затова Слънцето не успява да „откъсне“ Луната.

  За решаването на това подусловие не се изискват числени пресмятания.

Решение:

А) Нека въведем следните означения:

$M_{\mathrm{З}}$ – маса на Земята

$M_{\mathrm{Л}}$ – маса на Луната

$M_{\mathrm{С}}$ – маса на Слънцето

$r_1$ – разстояние Земя-Луна

$r_2$ – разстояние Земя-Слънце

$G$ – гравитационна константа.

Гравитационната сила, с която Земята привлича Луната, се задава от следния израз:

След пресмятане получаваме:

Аналогично, гравитационната сила, с която Слънцето привлича Луната, се изразява като:

Тук пренебрегваме разстоянието между Земята и Луната спрямо радиуса на земната орбита, защото той е приблизително 400 пъти по-голям.

След заместване на числените стойности се получава:

Б) Съотношението на големините на двете сили е:

Това означава, че Слънцето привлича Луната с по-голяма гравитационна сила.

В) Въпреки че Слънцето привлича Луната с по-голяма сила, нашият естествен спътник остава в орбита около нас. На пръв поглед това е парадоксално. За да разрешим този „парадокс“ първо трябва да поясним това, че Луната и Земята обикалят около Слънцето свързани като една система, т.е. по орбитата на Земята се движи центърът на масите на системата. За да загубим Луната като спътник, би било необходимо разликата в гравитационните ускорения, които Слънцето придава на Земята и на Луната, да успее да разруши гравитационната връзка между тях. Обаче тези ускорения са много близки по големина. Дори и максималната разлика между тях е значително по-малка от гравитационното ускорение, което Земята придава на Луната. Поради това Слънцето не успява да „откъсне“ Луната и тя остава в орбита около нас.

За решаването на това подусловие не се изискват числени пресмятания.

Критерии за оценяване (10т.)

А) 3т.

За правилни формули за пресмятане на силите на привличане – 2т.

За правилни числени резултати – 1т.

Б) 2т.

За правилно пресмятане на съотношението на двете сили – 1,5т

За верен отговор кое тяло привлича по-силно Луната – 0,5т

В) 5т.

За правилно и подробно обяснение на получения „изненадващ“ резултат – 0,5т