Съдържание

НОА 2026, IV кръг — Задача 1. Пътувай из Космоса с… Филип

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2026

Подборен кръг за IOAAjr 2026 · Теоретичен тур, 5 юли 2026 г. · 5 юли 2026 г. · 15 т.

Време за работа

Време за работа: 5 часа

Условие

Филип е решил да пътува не само из България, но също и … около Земята! Един ден, той и неговият добър приятел Александър Кирилов построили своя собствена космическа станция, която се движи по елиптична орбита около нашата планета. Филип и Сашо решили да измерват видимия ъглов размер на Земята. Оказало се, че максималната и минималната стойност на този ъглов размер са съответно 45° и 20°. Намерете:

А) Голямата полуос на орбитата на станцията; [2 т.]

Б) Орбиталния период на космическата станция; [2 т.]

В) Ексцентрицитетът на орбитата; [2 т.]

Г) За колко време станцията изгрява (пресича математическия хоризонт) за наблюдател на екватора, в момент, в който тя е в апогей, ако нейният линеен размер е 100 m и орбитата ѝ лежи в равнината на екватора? [3 т.]

Филип решил, че иска освен Земята да изследва и други планети. Двамата с Александър заминали към една от планетите в Слънчевата система и със своята космическа станция започнали да се движат в елиптична орбита около нея. След няколко дни в орбита, Александър докладва на Филип, че минималният и максималният видим ъглов размер на тази планета, при наблюдение от станцията им отново са 45° и 20°. Интервалът от време между два момента, в които видимият ъглов размер е минимален и максимален е T = 15 h. Филип се досетил, че използвайки тези данни той може да пресметне средната плътност на планетата:

Д) Пресметнете възможните стойности на тази плътност и вие. [6т.] [6 т.]

Справочни данни:

Гравитационна константа: $G = 6{,}67\times10^{-11}\ \mathrm{N.m^{2}.kg^{-2}}$

Маса на Земята: $M_{\mathrm{E}} = 6\times10^{24}\ \mathrm{kg}$

Радиус на Земята: $R_{\mathrm{E}} = 6378\ \mathrm{km}$

Отговори

Решение

Решение:

А) Нека да въведем следните означения:

$r_A$ – разстояние между станцията и центъра на Земята в апогей

$r_P$ – разстояние между станцията и центъра на Земята в перигей

$e$ – ексцентрицитет на орбитата на станцията

$a$ – голяма полуос на орбитата на станцията

$\theta_{MAX}$ - видим ъглов размер на Земята, за наблюдател на космическата станция, когато тя се намира в перигея на своята орбита

$\theta_{MIN}$ - видим ъглов размер на Земята, за наблюдател на космическата станция, когато тя се намира в апогея на своята орбита

$d$ – размера на космическата станция

Тъй като дадените ъгли не могат да бъдат приети за малки, трябва да използваме тригонометрия, за да намерим перигейното и апогейното разстояние.

Чертеж: окръжност „Земя“ с радиус R_E към допирателна точка; от точка „космическа станция“ на разстояние r от центъра са прекарани две допирателни към Земята; ъгълът между тях е означен с θ, а половината му — с θ/2; при допирната точка е отбелязан прав ъгъл.

Изхождайки от горния чертеж, можем да запишем следните равенства:

$\sin\left(\frac{\theta_{MAX}}{2}\right) = \frac{R_E}{r_P}$ и $\sin\left(\frac{\theta_{MIN}}{2}\right) = \frac{R_E}{r_A}$

Следователно:

r_P = \frac{R_E}{\sin\left(\frac{\theta_{MAX}}{2}\right)} \approx 16\,667\ \mathrm{km}

r_A = \frac{R_E}{\sin\left(\frac{\theta_{MIN}}{2}\right)} \approx 36\,730\ \mathrm{km}

В сила са следните равенства:

r_A = a(1+e) \text{ и } r_P = a(1-e)

От тук получаваме че:

a = \frac{r_A + r_P}{2} \approx 26\,700\ \mathrm{km}

Б) Съгласно III закон на Кеплер:

\frac{a^3}{P^2} = \frac{GM_E}{4\pi^2}

За търсения период можем да запишем:

P = 2\pi\sqrt{\frac{a^3}{GM_E}} \approx 722\ \mathrm{min}

В) Използвайки, че: $r_A = a(1+e)$ , получаваме:

e = \frac{r_a}{a} - 1 \approx 0{,}38

Г) Когато станцията се намира в апогей, нейната линейна скорост е:

v_A = \sqrt{\frac{1-e}{1+e}}\sqrt{\frac{GM_E}{a}} \approx 2\,608\ \mathrm{m/s}

Чертеж: окръжност „Земя“ с център, радиус R_E към точката „наблюдател“ на повърхността и хоризонтална линия (хоризонт) през наблюдателя до „космическа станция“; отсечка r_A от центъра до станцията, ъгъл α при центъра; при станцията векторът на скоростта v_A и перпендикулярната му компонента v_A^⊥, с отбелязани прави ъгли.

От чертежа се вижда, че перпендикулярната спрямо лъча на зрение компонента на тази скорост е:

v_A^{\perp} = v_A \sin(\alpha)

От друга страна:

cos(\alpha) = \frac{R_E}{r_A}

Съгласно Питагоровата теорема:

\sin(\alpha) = \sqrt{1 - cos^2(\alpha)} = \sqrt{1 - \left(\frac{R_E}{r_A}\right)^2}

Замествайки в израза за $v_A^{\perp}$ получаваме:

v_A^{\perp} = v_A\sqrt{1 - \left(\frac{R_E}{r_A}\right)^2} \approx 2\,568 m/s

Тъй като наблюдателят се намира на екватора, а същевременно и орбитата на космическата станция е в екваториалната равнина на Земята, то тя изгрява перпендикулярно спрямо хоризонта. Това означава, че продължителността на нейния изгрев е равна на интервала от време, за който станцията изминава един свой диаметър, от гледната точка на наблюдателя. Следователно, търсената продължителност е:

t = \frac{d}{v_A^{\perp}} \approx 0.039 s

Тъй като космическата станция се намира на математическия хоризонт за наблюдателя, няма нужда да отчитаме въртенето на Земята около нейната ос. Скоростта, която наблюдателят има спрямо оста на Земята, в този момент, е ориентирана изцяло по правата, която минава през него и станцията и не влияе на компонентата на скоростта, която е перпендикулярна на лъча на зрение.

Д) Използвайки, че:

r_P = \frac{R_E}{\sin\left(\frac{\theta_{MAX}}{2}\right)}

r_A = \frac{R_E}{\sin\left(\frac{\theta_{MIN}}{2}\right)}

а също и:

a = \frac{r_A + r_P}{2}

за голямата полуос на орбитата можем да запишем:

a = \frac{R_E}{2}\,\frac{\sin\left(\frac{\theta_{MIN}}{2}\right) + \sin\left(\frac{\theta_{MAX}}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\theta_{MIN}}{2}\right)\sin\left(\frac{\theta_{MAX}}{2}\right)}

Нека положим: $X = \frac{\sin\left(\frac{\theta_{MIN}}{2}\right) + \sin\left(\frac{\theta_{MAX}}{2}\right)}{2.\sin\left(\frac{\theta_{MIN}}{2}\right)\sin\left(\frac{\theta_{MAX}}{2}\right)}$ , т.е.

a = XR_E

Можем да пресметнем, че $X \approx 4{,}19$ .

Ако орбиталният период на космическата станция е P, то съгласно III закон на Кеплер:

\frac{a^3}{P^2} = \frac{GM_E}{4\pi^2}

Също, така ако ρ е търсената плътност, то:

M_E = \frac{4}{3}\pi\rho R^3

Замествайки изразите за масата и за голямата полуос в третия закон на Кеплер се получава:

\frac{(XR)^3}{P^2} = \frac{\frac{4}{3}G\pi\rho R^3}{4\pi^2}

След съкращаване на радиуса на планетата:

\rho = \frac{3\pi X^3}{GP^2}

Следващата стъпка от решението се състои в това да покажем, че сме прочели внимателно условието и сме го разбрали 😊.

Казано е, че даденото време е интервалът между два момента, в които планетата има максимален и минимален видим ъглов размер за наблюдател на станцията. Но никъде не е споменато, че това са два последователни такива момента 😉. Това означава, че T е равно на нечетен брой орбитални полупериоди на космическата станция. В общ вид това се записва така:

T = \left(N + \frac{1}{2}\right)P

Където N = 0, 1, 2…. е естествено число.

От това следва, че възможните стойности за плътността на планетата са толкова, колкото са възможните стойности за числото N, т.е. безкрайно много. От друга страна, ние знаем, че това е планета и нейната плътност се очаква да бъде в някакви граници.

Изразявайки периода P от общата формула за T и замествайки го в израза за плътността:

\rho = \frac{3\pi X^3}{G\left(\frac{T}{N+\frac{1}{2}}\right)^2}

За първите няколко стойности на N, получаваме:

N = 0: $\rho \approx 890\ \mathrm{kg/m^3}$

N = 1: $\rho \approx 8000\ \mathrm{kg/m^3}$

N = 2: $\rho \approx 22\,200\ \mathrm{kg/m^3}$

Разумните стойности за плътността са първите две. Следващите са прекалено високи за планета, която е изградена от скали.

Ако N = 0, т.е. даденият интервал от време е половината от орбиталния период, то планетата има средна плътност близка до тази на скалиста планета с размера на Марс. За N = 1 се получава плътност сходна с тази на желязото, т.е. това може да е планета състояща се от оголено желязно ядро.

Критерии за оценяване:

А) 2т.

- За правилно изразяване на перигейното и апогейното разстояние е верни числени стойности – 1т.

- За правилно изразяване на голямата полуос и вярна числена стойност – 1т.

Ако ученикът е използвал формулите за видим ъглов размер, които важат за приближение за малки ъгли, се присъжда максимум 1т на това подусловие!

Б) 2т.

- За правилен израз за орбиталния период – 1т.

- За вярна числена стойност – 1т.

В) 2т.

- За верен израз за търсения ексцентрицитет – 1т.

- За вярна числена стойност – 1т.

Г) 3т.

- За правилен израз за скоростта на станцията в апогей и вярна числена стойност – 1т.

- За правилно изразяване на компонентата на скоростта, която е перпендикулярна на лъча на зрение – 1т.

Разбира се, всеки друг правилен метод би следвало да се оцени с максимален брой точки.

- За правилен израз за търсения интервал от време и вярна числена стойност – 1т.

Д) 6т.

- За изразяване на перигейното, апогейното разстояние и голямата полуос на орбитата, чрез най-малкия и най-големия видим ъглов размер – 2т.

- За правилно получен израз за търсената плътност, чрез III закон на Кеплер – 2т.

- За правилни числени стойности на плътността и съобразяване на това кои от тях са допустими – 2т.

Ако ученикът не е съобразил това, че даденият интервал от 15h би могъл да бъде равен не само на половината от орбиталния период, то решението следва да се оцени с максимум 4т.

В това подусловие също ако ученикът използва формулите за видим ъглов размер, които важат за приближение за малки ъгли, се отнема една точка!

Оригинал в Архива: 26-IV-th.pdf · официални решения: a26-IV-th.pdf