НОФ 1992, III кръг (национален) — Задача 1

• $\omega = (3g/b)^{1/2}$

Нека означим с $\varphi$ ъгъла на завъртане на пръчката, а с $\theta$ – ъгъла на отклонение на нишката от съответните им равновесни положения (фигура 1). При малки ъгли на отклонение от прости геометрични съображения се получава връзката

(1.1) $\varphi = \dfrac{2b}{a}\theta$ 3 т.

От тук нататък задачата може да бъде решена по два начина:

I начин

Използувайки уравнението за въртеливо движение на твърдо тяло

(1.12) $I.\ddot{\varphi} = N$

където $I$ е инерчния момент на пръчката спрямо съответната ос на въртене, $\ddot{\varphi}$ – ъгловото и ускорение и $N$ – момента на силите, които действуват на пръчката, ако се покаже, че $N$ е пропорционален на взетия със знак минус ъгъл $\varphi$. / 5т./

При завъртане на пръчката на малък ъгъл $\varphi$ възникват двойка сили, всяка една с големина

(1.13) $F = -M.g.\sin\theta/2 \approx -M.g.\theta/2$ 3 т.

които се стремят да върнат системата в равновесие. Знакът минус показва, че те са насочени обратно на ъгъла на завъртане. Моментът на силите спрямо оста на въртене ще бъде

(1.14) $N = 2.F.a/2 = -M.g.a.\theta/2$ 2 т.

и като вземем предвид връзката между ъглите (1.1)

(1.15) $N = -M.g.a^2\varphi/4.b$

Използувайки явния вид за инерчния момент на пръчката и уравнение (1.12) получаваме

(1.16) $\ddot{\varphi} = -(3g/b).\varphi$ 3 т.

от където определяме честотата на хармоничните трептения

(1.17) $\omega = (3g/b)^{1/2}$ 2 т.

Общо заедно с (1.1) 18 точки

II начин

Представяйки кинетичната енергия $T$ като квадратична функция на ъгловата скорост $\dot{\varphi}$, т.е. $T=\alpha.\dot{\varphi}^2$, а потенциалната енергия $U$ като квадратична функция на ъгъла $\varphi$, т.е. $U=\beta.\varphi^2$. Тогава честотата на хармоничните трептения се определя от израза $\omega=(\beta/\alpha)^{1/2}$. / 5 т./

Кинетичната енергия при въртене на пръчката е

(1.22) $T = I.\dot{\varphi}^2/2$ 2 т.

а потенциалната енергия можем да намерим, свързвайки ъгъла на завъртане $\varphi$ с височината $h$, на която се повдига пръчката при това завъртане. От прости геометрични съображения се получава връзката между височината $h$ и ъгъла $\theta$

(1.23) $h = b.(1-\cos\theta)$ 3 т.

Използувайки разложението на $\cos\theta$ при малки ъгли получаваме

(1.24) $h \approx b.\theta^2/2$ 2 т.

или използувайки (1.1)

(1.25) $h = a^2\varphi^2/8.b$

Следователно за изменението на потенциалната енергия при завъртане на ъгъл $\varphi$ на пръчката получаваме

(1.26) $U = M.g.h = (M.g.a^2/8.b)\varphi^2$ 1 т.

откъдето получаваме честотата на хармоничните трептения

(1.27) $\omega = (3g/b)^{1/2}$ 2 т.

Общо заедно с (1.1) 18 точки