Съдържание

НОФ 1993, III кръг (национален) — Задача 1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 1993

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО, НАУКАТА И КУЛТУРАТА. ЦЕНТРАЛНА КОМИСИЯ ЗА ПРОВЕЖДАНЕ НА ОЛИМПИАДАТА ПО ФИЗИКА. Републикански кръг, 28 март 1993. ТЕМА · 28 март 1993 г. · 18 т.

Условие

Три малки топчета, масите на които са съответно $m$ , $2m$ и $5m$ , имат заряди съответно $q$ , $q$ и $2q$ и са разположени на една права на разстояние $b$ едно от друго /фиг.1./. В даден момент топчетата се освобождават от фиксиращите ги сили.

Три точки на една права, над тях надписи m,q, 2m,q и 5m,2q; между съседните точки стрелки с дължина b. — фигура 1.

А. Намерете ускоренията на топчетата в началния момент от време. [5 т.]

В. Определете скоростите им след разлитането им на големи разстояния едно от друго при предположение, че при движението си те остават на първоначалната права. [13 т.]

Отговори

Решение

А: Нека изберем посоката на оста както е показано на фигурата

Ускоренията на топчетата в началния момент ще се дължат на електростатичното отблъскване между тях и имат стойности:

a_1 = \frac{k}{m}\left(\frac{q^2}{b^2} + \frac{2q^2}{4b^2}\right) = \frac{3}{2}\frac{k}{m}\frac{q^2}{b^2}

a_2 = \frac{k}{2m}\left(\frac{2q^2}{b^2} - \frac{q^2}{b^2}\right) = \frac{1}{2}\frac{k}{m}\frac{q^2}{b^2}

a_3 = -\frac{k}{5m}\left(\frac{2q^2}{4b^2} + \frac{2q^2}{b^2}\right) = -\frac{1}{2}\frac{k}{m}\frac{q^2}{b^2}

където $k = 1/4.\pi.\varepsilon_0$ . /тази част от задачата се оценява максимално с 5 т./

В: От горните равенства се вижда, че $a_1 - a_2 = a_2 - a_3$ , т.е. относителното ускорение на първото спрямо второто топче е равно на това на второто спрямо третото /3т./. Следователно разстоянието между първото и второто топче ще бъде винаги равно на разстоянието между второто и третото топче /2т./. От тук за отношението на скоростите в произволен момент от време получаваме $v_1 : v_2 : v_3 = 3:1:1$ . /3т./ Приравнявайки енергиите в началния момент от време и след време, когато можем да пренебрегнем взаимодействието между топчетата, получаваме:

k.\left(\frac{q^2}{b} + \frac{2q^2}{b} + \frac{2q^2}{2b}\right) = \frac{mv_1^2}{2} + \frac{2mv_2^2}{2} + \frac{5mv_3^2}{2} \qquad \text{/3т./}

откъдето намираме скоростите

v_2 = v_3 = \sqrt{k.q^2/2.m.b} = \sqrt{q^2/8.\pi.\varepsilon_0.m.b}

v_1 = 3\sqrt{q^2/8.\pi.\varepsilon_0.m.b} \qquad \text{/2т./}

/задачата се оценява максимално с 18т./

Ос X, насочена наляво (пунктирна права със стрелка към X); върху нея три точки с надписи m,q, 2m,q и 5m,2q; под тях стрелки с дължина b между съседните топчета.

Оригинал в Архива: 1993_rep.pdf