НОФ 1996, III кръг (национален), 9–11 клас — Задача 1

• $v = \sqrt{\frac{2gh(1-\rho_2/\rho_1)}{\rho_2/\rho_1 + r^2/(R^2-r^2)}},\quad a = \frac{g(1-\rho_2/\rho_1)}{\rho_2/\rho_1 + r^2/(R^2-r^2)}$

  В официалното решение под корена в числителя на израза за v е отпечатано „-2gh(1-ρ2/ρ1)“ — знакът минус е грешка в източника (при $\rho_2 < \rho_1$ подкоренната величина би била отрицателна); изразът за ускорението е отпечатан без минус.

Задача 1: Когато пръчката се движи със скорост v спрямо стените на тръбата, тъй като течността е несвиваема, тя трябва да протича в обратна посока със скорост u /2т/, като от равенството на обемите на движещите се части следва:

$S_1\cdot v = S_2\cdot u$ /1т./

или

$\pi\cdot r^2\cdot v = \pi\cdot(R^2 - r^2)\cdot u$ /2т./

откъдето намираме

$u = v\cdot r^2/(R^2 - r^2)$ /1т./

Скоростта на течността се предполага еднаква навсякъде, освен около началото и края на пръчката, но тъй като $l \gg r$, тези ефекти се пренебрегват.

От закона за запазване на енергията може да запишем

$E_{k1} + E_{k2} = -\Delta U$ /2т./

където $E_{k1}$ и $E_{k2}$ са кинетичните енергии на пръчката и движещата се течност, а $\Delta U$ е промяната в потенциалната енергия на системата при изплуването на пръчката

$E_{k1} = m_1\cdot v^2/2 = \rho_2\cdot\pi\cdot r^2\cdot l\cdot v^2/2$ /2т./

$E_{k2} = m_2\cdot u^2/2 = \rho_1\cdot\pi\cdot(R^2 - r^2)\cdot l\cdot u^2/2 = \rho_1\cdot\pi\cdot l\cdot v^2\cdot r^4/(2\cdot(R^2 - r^2))$ /1т./

$\Delta U = (\rho_2 - \rho_1)\cdot\pi\cdot r^2\cdot l\cdot g\cdot h$ /1т./

откъдето получаваме за скоростта на пръчката

$\displaystyle v = \sqrt{\frac{-2gh\left(1-\frac{\rho_2}{\rho_1}\right)}{\frac{\rho_2}{\rho_1}+\frac{r^2}{(R^2-r^2)}}}$ /3т./

а от връзката между скоростта, ускорението и пътя

$a = v^2/(2\cdot h)$ получаваме и ускорението /2т./

$\displaystyle a = \frac{g(1-\rho_2/\rho_1)}{\rho_2/\rho_1 + r^2/(R^2-r^2)}$ /3т./

Задачата се оценява максимално с 20 точки.